Question

定義在實數(shù)集上的函數(shù)f（x）滿足下列條件：
①f（x）是偶函數(shù)；②對任意非負實數(shù)x、y，都有f（x+y）=2f（x）f（y）；③當(dāng)x＞0時，恒有．
（1）求f（0）的值；
（2）證明：f（x）在[0，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)；
（3）若f（3）=2，解關(guān)于a的不等式f（a²-2a-9）≤8．

Answer 1

【答案】分析：（1）令x=0，y=1，易由f（x+y）=2f（x）f（y）求出f（0）的值；
（2）設(shè)0≤x₁＜x₂，根據(jù)當(dāng)x＞0時，恒有及f（x）是偶函數(shù)，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的定義可判斷出f（x）在[0，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)；
（3）令x=y=3，則f（6）=8，由（2）中函數(shù)的單調(diào)性，可將抽象不等式具體為|a²-2a-9|≤6，解絕對值不等式可得答案．
解答：解：（1）解：令x=0，y=1，
則f（1）=2f（0）•f（1），
∵，
∴．…（4分）
（2）∵當(dāng)x＞0時，恒有，又f（x）是偶函數(shù)，
∴當(dāng)x＜0時，，
又，f（x）＞0恒成立．…（6分）
設(shè)0≤x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0，，
∴f（x₂）=2f（x₁）f（x₂-x₁）＞f（x₁），…（9分）
∴f（x）在[0，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)．…（10分）
（3）令x=y=3，則f（6）=2f²（3）=8，…（12分）
∴f（a²-2a-9）=f（|a²-2a-9|）≤f（6），
由f（x）在[0，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，
得|a²-2a-9|≤6，…（14分）
即，
解得，
∴-3≤a≤-1或3≤a≤5．…16 分
點評：本題考查的知識點是抽象函數(shù)及其應(yīng)用，函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，熟練掌握抽象函數(shù)“湊”的思想是解答的關(guān)鍵，本題難度中檔．