Question

已知函數(shù)，（p₁，p₂為實(shí)數(shù)），函數(shù)f（x）定義為：對(duì)于每個(gè)給定的x，．
（1）討論函數(shù)f₁（x）的奇偶性；
（2）解不等式：f₂（x）≥6；
（3）若f（x）=f₁（x）對(duì)任意實(shí)數(shù)x都成立，求p₁，p₂滿足的條件．

Answer 1

解：（1）當(dāng)p₁=0時(shí)，函數(shù)f₁（x）=3^|x|，
顯然函數(shù)是偶函數(shù)，當(dāng)p₁≠0時(shí)，函數(shù)的對(duì)稱軸為 x=p，
所以此時(shí)函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)．
（2）因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/153811.png' />，f₂（x）≥6，
所以，即，
所以|x-p₂|≥1，解得-1+p₂≥x或x≥1+p₂．
所以不等式的解集為{x|-1+p₂≥x或x≥1+p₂}．
（3）由f（x）的定義可知，f（x）=f₁（x）（對(duì)所有實(shí)數(shù)x）
等價(jià)于f₁（x）≤f₂（x）（對(duì)所有實(shí)數(shù)x）
這又等價(jià)于3|x-p₁|≤2•3|x-p₂|，
即3|x-p₁|-|x-p₂|≤3^log₃2=2對(duì)所有實(shí)數(shù)x均成立．（*）
由于|x-p₁|-|x-p₂|≤|（x-p₁）-（x-p₂）|=|p₁-p₂|（x∈R）的最大值為|p₁-p₂|，
故（*）等價(jià)于3|p₁-p₂|≤2，即|p₁-p₂|≤log₃2，這就是所求的條件．
綜上：|p₁-p₂|≤log₃2
分析：（1）通過(guò)p₁=0與p₁≠0，直接判斷函數(shù)的奇偶性即可．
（2）直接利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，轉(zhuǎn)化指數(shù)不等式為絕對(duì)值不等式，求解即可．
（3）根據(jù)定義，問(wèn)題等價(jià)于“f₁（x）≤f₂（x）恒成立”，從而進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為具體不等式恒成立問(wèn)題，可求p₁，p₂滿足的條件．
點(diǎn)評(píng)：本題考查其他不等式的解法，函數(shù)的最值及其幾何意義，函數(shù)奇偶性的判斷，考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，考查轉(zhuǎn)化思想．