Question

已知函數(shù)f（x）=

2

x-2

（Ⅰ）用定義法證明其在（2，+∞）上的單調(diào)性．
（Ⅱ）求f（x）在[4，5]上最值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì),函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）利用函數(shù)單調(diào)性的定義即可證明函數(shù)在（2，+∞）上的單調(diào)性．
（Ⅱ）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和最值之間的關(guān)系即可得到結(jié)論．

解答： （Ⅰ）證明、設(shè)x₁，x₂是（2，+∞）上任意兩個(gè)值，且x₁＜x₂，
∴f(x1)-f(x2)=

2

x1-2

-

2

x2-2

=

2(x2-x1)

(x1-2)(x2-2)

，
∵x₁，x₂∈（2，+∞）且x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0，x₁-2＞0，x₂-2＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
即f（x₁）＞f（x₂）
∴函數(shù)f(x)=

2

x-2

在（2，+∞）上是減函數(shù)
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知，函數(shù)f（x）在[4，5]上單調(diào)遞減，
則f(x)min=f(5)=

2

5-2

=

2

3

；f(x)max=f(4)=

2

4-2

=1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的證明以及函數(shù)最值的求解，利用單調(diào)性的定義是解決本題的關(guān)鍵．