Question

在平面直角坐標(biāo)系中，原點(diǎn)為,拋物線的方程為,線段是拋物線的一條動弦．
(1)求拋物線的準(zhǔn)線方程和焦點(diǎn)坐標(biāo);
(2)若,求證：直線恒過定點(diǎn)；
(3)當(dāng)時(shí)，設(shè)圓,若存在且僅存在兩條動弦,滿足直線與圓相切，求半徑的取值范圍？

Answer 1

（1）準(zhǔn)線方程：，焦點(diǎn)坐標(biāo)；（2）證明見解析；（3）.

解析試題分析：（1）根據(jù)拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程確定焦點(diǎn)在哪個(gè)軸上及開口方向，焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為；（2）本題實(shí)質(zhì)是直線與拋物線相交問題，一般是設(shè)直線方程為，與拋物線方程聯(lián)立方程組，消去可得，再設(shè)，則有，，而，把剛才求出的代入可得的關(guān)系，本題中求得為常數(shù)，因此直線A一定過定點(diǎn)；（3）由（2）利用可求出的關(guān)系式，
，則，而直線與圓相切，則圓心到直線的距離等于圓的半徑，即，由題意，作為關(guān)于的方程，此方程只有兩解，設(shè)，則有，由于在時(shí)是減函數(shù)，且，即函數(shù)在時(shí)遞減，在時(shí)遞增，因此為了保證有兩解，即只有一解，故要求.
（1）準(zhǔn)線方程：    +2分   焦點(diǎn)坐標(biāo)：   +4分
（2）設(shè)直線方程為 ,
 得        +6分
      +8分
  直線 過定點(diǎn)（0，2）   +10分
（3）      +12分
  +14分     令
  當(dāng)時(shí)， 單調(diào)遞減，  +15分
當(dāng)時(shí)， 單調(diào)遞增，   +16分
存在兩解即一解           +18分
考點(diǎn)：（1）拋物線的性質(zhì)；（2）直線與拋物線相交問題；（3）圓的切線的條數(shù)與方程的解.