Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為梯形，AB∥CD，AB⊥BC，PC⊥AD，PA⊥底面ABCD，PA=AB=BC，點E在棱PB上，且PD∥平面EAC．
（I）求證：PE=2EB；
（II）求二面角E-AD-C的大�。�

Answer 1

分析：（I）由已知中PD∥平面EAC，連接BD交AC于O，連接OE，由線面平行的性質(zhì)可得PD∥OE，結(jié)合已知中PC⊥AD，得AC⊥AD，令PA=AB=BC=1，我們可得CD=2，再由平行線分線段成比例定理，可得PE=2EB；
（II）過E作EF⊥AB于F，過F作FH⊥DH于H，由三垂線定理及二面角平面角的定義，可得∠EHF即為二面角E-AD-C的平面角，解三角形EHF即可得到二面角E-AD-C的大�。�

解答： 證明：（I）設(shè)PA=AB=BC=1，連接BD交AC于O，
∵PD∥平面EAC
由線面平行的性質(zhì)定理可得PD∥OE，
由PC⊥AD，得AC⊥AD，易求得CD=2，
∴PE：BE=OD：OB=CD：AB=2，
即PE=2EB．
解：（II）過E作EF⊥AB于F，過F作FH⊥DH于H．
則∠EHF即為二面角E-AD-C的平面角．
在RT△EHF，EF=

1

3

，F(xiàn)H

2

3

，
∴tan∠EHF=

2

2

∴二面角E-AD-C的大小arctan

2

2

點評：本題考查的知識點是二面角的平面角及求法，直線與平面垂直的性質(zhì)，其中（I）的關(guān)鍵是利用線面平行的性質(zhì)，得到PD∥OE，進而根據(jù)平行線分線段成比例定理，得到答案，（II）的關(guān)鍵是得到∠EHF即為二面角E-AD-C的平面角．