設a，b，c為正實數(shù)，求證：
1
a3
+
1
b3
+
1
c3
+abc≥2
3
．
分析：先根據(jù)平均值不等式證明
1
a3
+
1
b3
+
1
c3
+abc≥
3
abc
+abc，再證  
3
abc
+abc≥2
3
abc
•abc
=2
3
．
解答：證明：因為a，b，c為正實數(shù)，由平均不等式可得
1
a3
+
1
b3
+
1
c3
≥3
3
1
a3
•
1
b3
•
1
c3
，
即  
1
a3
+
1
b3
+
1
c3
≥
3
abc
，
所以，
1
a3
+
1
b3
+
1
c3
+abc≥
3
abc
+abc，
而 
3
abc
+abc≥2
3
abc
•abc
=2
3
，
所以，
1
a3
+
1
b3
+
1
c3
+abc≥2
3
點評：本題考查平均值不等式的應用，n個正數(shù)的算術平均數(shù)
a1+a2+…+an
n
  大于或等于它們的幾何平均數(shù) 
na1•a2…an
．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設a，b，c為正實數(shù)，求證：
1
a3
+
1
b3
+
1
c3
+3abc≥6，并指出等號成立的條件．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設a，b，c為正實數(shù)，且a+b+c=1，則ab2c的最大值為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2011•南京模擬）A．選修4-1幾何證明選講
如圖，△ABC的外接圓的切線AE與BC的延長線相交于點E，∠BAC的平分線與BC交于點D．
求證：ED2=EB•EC．
B．矩陣與變換
已知矩陣A=
2-1
-43
，
4-1
-31
，求滿足AX=B的二階矩陣X．
C．選修4-4 參數(shù)方程與極坐標
若兩條曲線的極坐標方程分別為ρ=1與ρ=2cos（θ+
π
3
），它們相交于A，B兩點，求線段AB的長．
D．選修4-5 不等式證明選講設a，b，c為正實數(shù)，求證：a3+b3+c3+
1
abc
≥2
3
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2010•南京模擬）設a，b，c為正實數(shù)，求證：a3+b3+c3+
1
abc
≥2
3
．

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