Question

13．已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c的圖象過(guò)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）兩點(diǎn)，且滿足a²+（y₁+y₂）a+y₁y₂=0．
（1）證明y₁=-a或y₂=-a；
（2）證明函數(shù)f（x）的圖象必與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；
（3）若關(guān)于x的不等式f（x）＞0的解為x＜n或x＞m（n＜m＜0），解關(guān)于x的不等式cx²-bx+a＞0．

Answer 1

分析 （1）由題知a²+（y₁+y₂）a+y₁y₂=0解得y₁或y₂即可；
（2）討論a＞0，函數(shù)為開(kāi)口向上的拋物線，a＜0時(shí)函數(shù)圖象開(kāi)口向下，由（2）得圖象上的點(diǎn)A、B的縱坐標(biāo)大于小于0得到與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)即可；
（3）根據(jù)已知不等式的解集得到a的符號(hào)且可得ax²+bx+c=0的兩根為m，n，然后利用根與系數(shù)的關(guān)系化簡(jiǎn)不等式求出解集即可．

解答 解：（1）證明：∵a²+（y₁+y₂）a+y₁y₂=0，
∴（a+y₁）（a+y₂）=0，得y₁=-a或y₂=-a．
（2）證明：當(dāng)a＞0時(shí)，二次函數(shù)f（x）的圖象開(kāi)口向上，圖象上的點(diǎn)A、B的縱坐標(biāo)至少有一個(gè)為-a且小于零，
∴圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)．
當(dāng)a＜0時(shí)，二次函數(shù)f（x）的圖象開(kāi)口向下，圖象上的點(diǎn)A、B的縱坐標(biāo)至少有一個(gè)為-a且大于零，
∴圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)．
故二次函數(shù)f（x）的圖象與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)．
（3）∵ax²+bx+c＞0的解集為{x|x＞m或x＜n，n＜m＜0}．
根據(jù)一元二次不等式大于0取兩邊，從而可判定a＞0，
并且可得ax²+bx+c=0的兩根為m，n，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m+n=-\frac{a}}\\{m•n=\frac{c}{a}＞0}\end{array}\right.$，∴a＞0，
∴$\frac{m+n}{m•n}$=-$\frac{a}$•$\frac{a}{c}$=-$\frac{c}$．
而cx²-bx+a＞0?x²-$\frac{c}$x+$\frac{a}{c}$＞0?x²+（ $\frac{m+n}{mn}$）x+$\frac{1}{mn}$＞0?（x+$\frac{1}{m}$）（x+$\frac{1}{n}$）＞0，
又∵n＜m＜0，∴-$\frac{1}{n}$＜-$\frac{1}{m}$，∴x＞-$\frac{1}{m}$或x＜-$\frac{1}{n}$．
故不等式cx²-bx+a＞0的解集為{x|x＞-$\frac{1}{m}$或x＜-$\frac{1}{n}$}．

點(diǎn)評(píng) 考查學(xué)生函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用能力，以及一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的靈活運(yùn)用，不等式取解集方法的運(yùn)用能力．