Question

x2+y2+2x-4y+1=0關(guān)于直線2ax-by+2=0(a＞0，b＞0)對(duì)稱(chēng)，則

4

a

+

1

b

的最小值為

10

．

Answer 1

分析：將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，找出圓心坐標(biāo)與半徑，由圓關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，得到直線過(guò)圓心，將圓心坐標(biāo)代入直線方程得到a+b=1，所求式子利用基本不等式變形即可求出最小值．

解答：解：將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得：（x+1）²+（y-2）²=4，
得到圓心坐標(biāo)為（-1，2），半徑為2，
∵圓關(guān)于直線2ax-by+2=0對(duì)稱(chēng)，
∴直線過(guò)圓心，即-2a-2b+2=0，
∴a+b=1，
則

4

a

+

1

b

≥2

4 ab

，當(dāng)且僅當(dāng)

4

a

=

1

b

，即a=4b時(shí)取等號(hào)，
此時(shí)a+b=4b+b=1，即a=

4

5

，b=

1

5

，
則最小值為2

4 4 25

=10．
故答案為：10

點(diǎn)評(píng)：此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，以及基本不等式的運(yùn)用，根據(jù)題意得到直線過(guò)圓心是解本題的關(guān)鍵．