Question

已知f(x)是定義在正整數(shù)集N^*上的函數(shù)，當x為奇數(shù)時f(x＋1)－f(x)＝1，當x為偶數(shù)時f(x＋1)－f(x)＝－3，且f(1)＋f(2)＝3．

(1)求證：f(1)，f(3)，f(5)，…，f(2_n－1)(n∈N^*)成等差數(shù)列；

(2)求f(n)的解析式；

(3)求f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(2 003)的值．

Answer 1

答案：
解析：

(1)由題意f(2m)－f(2m－1)＝1，f(2m＋1)－f(2m)＝－3，相加得f(2m＋1)－f(2m－1)＝－2(m∈N*)，則f(1)，f(3)，f(5)，…，f(2m－1)(n∈N*)成等差數(shù)列，公差為－2． 　　(2)同理，f(2m＋2)－f(2m＋1)＝1，f(2m＋1)－f(2m)＝－3，相加得f(2m＋2)－f(2m)＝－2(m∈N*)，則f(2)，f(4)，f(6)，…，f(2m)(n∈N*)成等差數(shù)列，公差為－2．f(2)－f(1)＝1，又f(1)＋f(2)＝3，所以f(1)＝1，f(2)＝2，當n為奇數(shù)時，n＝2m－1，f(n)＝f(2m－1)＝f(1)＋(m－1)(－2)＝－n＋2；當n為偶數(shù)時，n＝2m，f(n)＝f(2m)＝f(2)＋(m－1)(－2)＝－n＋4．所以f(n)＝ 　　(3)f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(2003)＝[f(1)＋f(3)＋f(5)＋f(7)＋…＋f(2003)]＋[f(2)＋f(4)＋f(6)＋f(8)＋…＋f(2002)]＝1002×f(1)＋×(－2)＋1001×f(2)＋×(－2)＝－1002000－1001000＝－2003000．

提示：

本題結(jié)構(gòu)層層遞進，(1)揭示數(shù)列{f(n)}每隔一項構(gòu)成等差數(shù)列，從而可求出(2)中{f(n)}的通項公式，再求(3)中數(shù)列{f(n)}前2003項的和(轉(zhuǎn)化為兩個數(shù)列的和)．