Question

15．已知函數(shù)f（x）=3$\sqrt{co{s}^{2}x}$-cosx（0≤x≤2π）．
（1）畫出函數(shù)f（x）的圖象；
（2）若函數(shù)g（x）=f（x）+2m有且僅有2個零點，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意和余弦函數(shù)的性質(zhì)化簡解析式，由解析式和余弦函數(shù)圖象畫出f（x）的圖象；
（2）將函數(shù)g（x）的零點問題轉(zhuǎn)化為：函數(shù)f（x）的圖象和直線y=-2m有且僅有2個交點，由圖列出不等式，求出實數(shù)m的取值范圍即可．

解答 解：（1）由題意得，f（x）=3$\sqrt{co{s}^{2}x}$-cosx（0≤x≤2π）
=3|cosx|-cosx=$\left\{\begin{array}{l}{2cosx，x∈[0，\frac{π}{2}）∪（\frac{3π}{2}，2π]}\\{-4cosx，x∈[\frac{π}{2}，\frac{3π}{2}]}\end{array}\right.$，
函數(shù)f（x）的圖象如圖所示：
（2）∵函數(shù)g（x）=f（x）+2m有且僅有2個零點，
∴函數(shù)f（x）的圖象和直線y=-2m有且僅有2個交點，
由圖得，2≤-m＜4，則-4＜m≤-2，
∴實數(shù)m的取值范圍是（-4，-2]．

點評 本題考查余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，以及函數(shù)零點與函數(shù)圖象交點之間的關(guān)系，考查轉(zhuǎn)化思想，數(shù)形結(jié)合思想，化簡、變形能力．