Question

我們知道，直線與圓的位置關(guān)系可以用圓心到直線的距離進(jìn)行判別，那么直線與橢圓的位置關(guān)系有類似的判別方法嗎？請(qǐng)同學(xué)們進(jìn)行研究并完成下面的問題．
（1）設(shè)F₁、F₂是橢圓M：

x2

25

+

y2

9

=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)F₁、F₂到直線l：

2

x-y+

5

=0的距離分別為d₁、d₂，試求d₁•d₂的值，并判斷直線l與橢圓M的位置關(guān)系．
（2）設(shè)F₁、F₂是橢圓M：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)F₁、F₂到直線l：mx+ny+p=0（m、n不同時(shí)為零）的距離分別為d₁、d₂，且直線l與橢圓M相切，試求d₁•d₂的值．
（3）試寫出一個(gè)能判斷直線與橢圓的相交、相離位置關(guān)系的充要條件（不必證明）．

Answer 1

分析：（1）利用點(diǎn)到直線的距離公式分別計(jì)算d₁、d₂，代入d₁•d₂化簡(jiǎn)，可以求出d₁•d₂的值，再通過直線L與橢圓方程消去y得到關(guān)于x的方程，可以求出根的差別式大于零，得到直線L與橢圓M有兩個(gè)交點(diǎn)，是相交的位置關(guān)系；
（2）將直線方程與橢圓方程消去y，得到關(guān)于x的方程．再利用根的判別式可得△=0，從而p²=a²m²+b²n²，將其代入d₁•d₂的表達(dá)式化簡(jiǎn)可得d₁•d₂=b²；
（3）根據(jù)（2）運(yùn)算得啟發(fā)：直線L與橢圓M相交的充要條件為：d₁d₂＜b²；直線L與橢圓M相離的充要條件為：d₁d₂＞b²．

解答：解：（1）∵F₁（-4，0），F(xiàn)₂（4，0）到直線

2

x- y-+

5

=0的距離分別為d1=

|-4 2 + 5 |

3

，d2=

|4 2 + 5 |

3

∴d1•d2=

|-4 2 + 5 |

3

•

|4 2 + 5 |

3

=9

x2 25 + y2 9 =1 2 x-y+ 5 =0

∴59x2+50

10

x-100=0  ，△=(50

10

)2-4•59•(-100)＞0
∴直線l與橢圓C相交
（2）F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），直線l與橢圓M相切，點(diǎn)F₁、F₂在直線l的同側(cè)d1•d2=

-mc+p

m2+n2

•

mc+p

m2+n2

=

p2-m2c2

m2+n2

=

p2-a2m2+b2m2

m2+n2

又

x2 a2 + y2 b2 =1 mx+ny+p=0

(b2+

a2m2

n2

)x2+

2a2mp

n

x+

a2p2

n2

-a2b2=0
∴△=0
∴p²=b²n²+a²m²
∴d1•d2=

p2-a2m2+b2m2

m2+n2

=b2
（3）設(shè)F₁、F₂是橢圓M：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)F₁、F₂到直線l：mx+ny+p=0（m、n不同時(shí)為零）的距離分別為d₁、d₂，且點(diǎn)F₁、F₂在直線l的同側(cè)，那么，直線l與橢圓M相交的充要條件為：d₁•d₂＜b²；直線l與橢圓M相離的充要條件為：d₁•d₂＞b²；

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、類比推理以及圓錐曲線的綜合應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)，屬于難題．本題對(duì)運(yùn)算的要求相當(dāng)高，解題中應(yīng)注意設(shè)而不求和轉(zhuǎn)化化歸思想的運(yùn)用．