【題目】已知函數(shù)
， 
為自然對數(shù)的底數(shù)， 
.
（1）試討論函數(shù)
的單調性；
（2）當
時， 
恒成立，求實數(shù)
的取值范圍.
【答案】(1) 當
時， 
在
上單調遞增；當
時， 
在
上單調遞增，在
上單調遞減.
(2) 
.
【解析】試題分析：（1）對函數(shù)求導，關注定義域，對參數(shù) a進行討論，得出函數(shù)的單調性；（2）解決恒成立的最基本方法就是分離參數(shù)，化為
對
時恒成立．設右邊為函數(shù)g(x),通過兩次求導研究函數(shù)g(x)的單調性和最大值，最后利用極值原理得出a的范圍.
試題解析：
（1）
的定義域為
， 
．
若
時，則
，∴
在
上單調遞增；
若
時，則由
，∴
．
當
時， 
，∴
在
上單調遞增；
當
時， 
，∴
在
上單調遞減．
綜上所述，當
時， 
在
上單調遞增；
當
時， 
在
上單調遞增，在
上單調遞減．
（2）由題意得： 
對
時恒成立，
∴
對
時恒成立．
令
，（ 
），
∴
．
令
，
∴
對
時恒成立，
∴
在
上單調遞減，
∵
，
∴當
時， 
，∴
， 
在
上單調遞增；
當
時， 
，∴
， 
在
上單調遞減.
∴
在
處取得最大值
，
∴
的取值范圍是
.
科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】如圖，在四棱錐
中，底面
為菱形， 
平面
， 
， 
， 
， 
分別是
， 
的中點.
（1）證明： 
；
（2）設
為線段
上的動點，若線段
長的最小值為
，求二面角
的余弦值.
【答案】（1）見解析；（2）
【解析】試題分析：（1）證明線線垂直則需證明線面垂直，根據(jù)題意易得
，然后根據(jù)等邊三角形的性質可得
，又
，因此
得
平面
，從而得證（2）先找到EH什么時候最短，顯然當線段
長的最小時， 
，在
中， 
， 
， 
，∴
，由
中， 
， 
，∴
.然后建立空間直角坐標系，寫出兩個面法向量再根據(jù)向量的夾角公式即可得余弦值
解析：（1）證明：∵四邊形
為菱形， 
，
∴
為正三角形.又
為
的中點，∴
.
又
，因此
.
∵
平面
， 
平面
，∴
.
而
平面
， 
平面
且
，
∴
平面
.又
平面
，∴
.
（2）如圖， 
為
上任意一點，連接
， 
.
當線段
長的最小時， 
，由（1）知
，
∴
平面
， 
平面
，故
.
在
中， 
， 
， 
，
∴
，
由
中， 
， 
，∴
.
由（1）知
， 
， 
兩兩垂直，以
為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，又
， 
分別是
， 
的中點，
可得
， 
， 
， 
，
， 
， 
，
所以
， 
.
設平面
的一法向量為
，
則
因此
，
取
，則
，
因為
， 
， 
，所以
平面
，
故
為平面
的一法向量.又
，
所以
.
易得二面角
為銳角，故所求二面角的余弦值為
.
【題型】解答題
【結束】
20
【題目】【2018湖北七市（州）教研協(xié)作體3月高三聯(lián)考】已知橢圓
： 
的左頂點為
，上頂點為
，直線
與直線
垂直，垂足為
點，且點
是線段
的中點．
（I）求橢圓
的方程；
（II）如圖，若直線
： 
與橢圓
交于
， 
兩點，點
在橢圓
上，且四邊形
為平行四邊形，求證：四邊形
的面積
為定值．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】對于下列四個命題:
p1:x0∈(0,+∞),
;
p2:x0∈(0,1),lo
x0>lo
x0;
p3:x∈(0,+∞),
<lox;
p4:x∈
<lox.
其中的真命題是( )
A. p1,p3 B. p1,p4
C. p2,p3 D. p2,p4
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】選修4-4：坐標系與參數(shù)方程
在直角坐標系
中，以
為極點， 
軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線
的方程是
，將
向上平移2個單位得到曲線
．
（1）求曲線
的極坐標方程；
（2）直線
的參數(shù)方程為
（
為參數(shù)），判斷直線
與曲線
的位置關系．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
（其中
是自然對數(shù)的底數(shù)）
（1）若
，當
時，試比較
與2的大小；
（2）若函數(shù)
有兩個極值點
，求
的取值范圍，并證明： 
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】某市民用水擬實行階梯水價，每人用水量中不超過
立方米的部分按4元/立方米收費，超出
立方米的部分按10元/立方米收費，從該市隨機調查了10000位居民，獲得了他們某月的用水量數(shù)據(jù)，整理得到如下頻率分布直方圖：
（1）如果
為整數(shù)，那么根據(jù)此次調查，為使80%以上居民在該月的用水價格為4元/立方米， 
至少定為多少？
（2）假設同組中的每個數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的右端點值代替，當
時，估計該市居民該月的人均水費．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，Sn是數(shù)列{an}的前n項和，且4Sn=an2+2an﹣3．
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）已知bn=2n，求Tn=a1b1+a2b2+…+anbn的值．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】隨著經濟的發(fā)展，某城市的市民收入逐年增長，表1是該城市某銀行連續(xù)五年的儲蓄存款額(年底余額)：
表1
年份x | 2011 | 2012 | 2013 | 2014 | 2015 |
儲蓄存款額y(千億元) | 5 | 6 | 7 | 8 | 10 |
為了研究計算的方便，工作人員將表1的數(shù)據(jù)進行了處理，令t＝x－2 010，z＝y－5，得到表2：
表2
時間代號t | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
z | 0 | 1 | 2 | 3 | 5 |
(1)z關于t的線性回歸方程是________；y關于x的線性回歸方程是________；
(2)用所求回歸方程預測到2020年年底，該銀行儲蓄存款額可達________千億元．
(附：線性回歸方程
＝
x＋
，其中＝
，＝
－
)
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