Question

在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知 BC=1，BB₁=2，∠BAC=30°，∠BCC₁=90°，AB⊥側(cè)面BB₁C₁C，則直線C₁B與側(cè)面ACC₁A₁所成角的正弦值為

15

10

．

Answer 1

分析：以BA為x軸，以BC為y軸，以BB₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，由BC=1，BB₁=2，∠BAC=30°，∠BCC₁=90°，AB⊥側(cè)面BB₁C₁C，知

AC1

=(-

3

，1，2)，

AC

=(-

3

，1，0)，

C1B

=(0，-1，-2)，設(shè)面ACC₁A₁的法向量

n

=(x，y，z)，則

- 3 x+y+2z=0 - 3 x+y=0

，所以

n

=(

3

，3，0)，由此利用向量法能求出直線C₁B與側(cè)面ACC₁A₁所成角的正弦值．

解答：解：以BA為x軸，以BC為y軸，以BB₁為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
∵BC=1，BB₁=2，∠BAC=30°，∠BCC₁=90°，AB⊥側(cè)面BB₁C₁C，
∴A（

3

，0，0），B（0，0，0），C（0，1，0），C₁（0，1，2），
∴

AC1

=(-

3

，1，2)，

AC

=(-

3

，1，0)，

C1B

=(0，-1，-2)，
設(shè)面ACC₁A₁的法向量

n

=(x，y，z)，
則

- 3 x+y+2z=0 - 3 x+y=0

，
∴

n

=(

3

，3，0)，
設(shè)直線C₁B與側(cè)面ACC₁A₁所成角為θ，
sinθ=|cos＜

C1B

，θ＞|=|

0-3+0

12 • 5

|=

15

10

．
故答案為：

15

10

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面所成角的正弦值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，恰當(dāng)?shù)亟�立空間直角坐標(biāo)系，注意向量法的合理運(yùn)用．