Question

19．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的右頂點為A，左焦點為F，離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，過點F的直線l交橢圓C于M、N兩點，當l垂直于x軸時，△AMN的面積為$\frac{2+\sqrt{2}}{2}$．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若直線x=-2上存在點P，使得△PMN為等邊三角形，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）把x=-c代入橢圓方程可得：${y}^{2}=\frac{^{2}}{{a}^{2}}（{a}^{2}-{c}^{2}）$，解得y，可得|MN|=$\frac{2^{2}}{a}$，利用△AMN的面積$\frac{2+\sqrt{2}}{2}$=$\frac{1}{2}|MN||AF|$，化為：2b²（a+c）=（2+$\sqrt{2}$a），與$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，a²=b²+c²聯(lián)立解出即可得出．
（2）設(shè)P（-2，t），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），線段MN的中點Q（x₀，y₀），F(xiàn)（-1，0）．直線MN的斜率為0時，不滿足題意．設(shè)直線MN的方程為：my=x+1，m=0時，MN⊥x軸，可得△PMN不是等邊三角形，舍去．m≠0時．與橢圓方程聯(lián)立化為：（m²+2）y²-2my-1=0．利用根與系數(shù)的關(guān)系及其中點坐標公式，及其PQ⊥MN，可得：t（m²+2）=3m+2m³．再利用|PQ|=$\frac{\sqrt{3}}{2}$|MN|化簡即可得出．

解答 解：（1）把x=-c代入橢圓方程可得：${y}^{2}=\frac{^{2}}{{a}^{2}}（{a}^{2}-{c}^{2}）$，解得y=$±\frac{^{2}}{a}$，∴|MN|=$\frac{2^{2}}{a}$，∴△AMN的面積$\frac{2+\sqrt{2}}{2}$=$\frac{1}{2}|MN||AF|$=$\frac{1}{2}×\frac{2^{2}}{a}$×（a+c），化為：2b²（a+c）=（2+$\sqrt{2}$a），與$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，a²=b²+c²聯(lián)立解得：c=b=1，$a=\sqrt{2}$．
∴橢圓的標準方程為：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1．
（2）設(shè)P（-2，t），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），線段MN的中點Q（x₀，y₀），F(xiàn)（-1，0）．
直線MN的斜率為0時，不滿足題意．
設(shè)直線MN的方程為：my=x+1，
m=0時，MN⊥x軸，
|MN|=$\frac{2^{2}}{a}$=$\sqrt{2}$，點F到直線x=-2的距離d=1，△PMN不是等邊三角形，舍去．
m≠0時．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{my=x+1}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，化為：（m²+2）y²-2my-1=0．
∴y₁+y₂=$\frac{2m}{{m}^{2}+2}$，y₁y₂=$\frac{-1}{{m}^{2}+2}$．
∴y₀=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$=$\frac{m}{{m}^{2}+2}$，x₀=my₀-1=$\frac{-2}{{m}^{2}+2}$．
∵PQ⊥MN，∴$\frac{t-\frac{m}{{m}^{2}+2}}{-2+\frac{2}{{m}^{2}+2}}$×$\frac{1}{m}$=-1，化為：t（m²+2）=3m+2m³．
|PQ|=$\frac{|-2-tm+1|}{\sqrt{1+{m}^{2}}}$=$\frac{|tm+1|}{\sqrt{1+{m}^{2}}}$．
|MN|=$\sqrt{（1+{m}^{2}）[（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}]}$=$\frac{2\sqrt{2}（1+{m}^{2}）}{2+{m}^{2}}$．
又|PQ|=$\frac{\sqrt{3}}{2}$|MN|，∴$\frac{|tm+1|}{\sqrt{1+{m}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\frac{2\sqrt{2}（1+{m}^{2}）}{2+{m}^{2}}$，
化為：（tm+1）（2+m²）=$\sqrt{6}$（1+m²）$\sqrt{1+{m}^{2}}$．
與t（m²+2）=3m+2m³聯(lián)立可得：m²=$\frac{1}{2}$，解得m=$±\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴直線MN的方程為：$\sqrt{2}x$±y+$\sqrt{2}$=0．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交弦長問題、一元二次的根與系數(shù)的關(guān)系、斜率計算公式、等邊三角形的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．