Question

設函數f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，），給出以下四個論斷：
①它的圖象關于直線x=對稱；　　　�、谒�的周期為π；
③它的圖象關于點（，0）對稱；　　�、茉趨^(qū)間[-，0]上是增函數．
以其中兩個論斷作為條件，余下兩個論斷作為結論，寫出你認為正確的兩個命題：
（1）________； （2）________．

Answer 1

解：（1）：①③?②④．
由①得ω×+∅=kπ+，k∈z． 由③得ω +∅=kπ，k∈z．
又∵ω＞0，，故有ω=2，∅=．
∴，其周期為π．
令 ，可得 ．
故函數f（x）的增區(qū)間為[]．
∵，∴f（x）在區(qū)間[]上是增函數，
故可得 ①③?②④．
（2）：還可①②?③④．
由②它的周期為π，可得ω=2，故 f（x）=sin（2x+∅）．
由①得 2×+∅=kπ+，k∈z．再由 可得φ=，故函數f（x）=sin（2x+）．
顯然它的圖象關于點（，0）對稱，由（1）可得 f（x）在區(qū)間[]上是增函數．
故可得 ①②?③④．
故答案為 （1）：①③?②④； （2）：①②?③④．
分析：（1）由①得ω×+∅=kπ+； 再由③得ω +∅=kπ，k∈z，以及ω、∅的范圍，求得ω、∅的值，從而得
函數解析式，從而求出周期和單調增區(qū)間，可得②④正確，故得①③?②④．
（2）由②可得ω=2，故 f（x）=sin（2x+∅），再由①得 2×+∅=kπ+，k∈z，結合∅的范圍可得φ=，
故函數f（x）=sin（2x+），由此推出③④成立．
點評：本題主要考查三角函數的周期性，單調性，對稱性，以及學生構造命題拓展問題的能力，屬中檔題．