Question

8．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且2acosB=3ccosA-2bcosA．
（1）若b=$\sqrt{5}$sinB，求a；
（2）若a=$\sqrt{6}$，△ABC的面積為$\frac{\sqrt{5}}{2}$，求b+c．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應用化簡已知可得2sinC=3sinCcosA，結合sinC≠0，可求cosA，利用同角三角函數(shù)基本關系式可求sinA，結合已知利用正弦定理可求a的值．
（2）利用三角形面積公式可求bc=3，進而根據(jù)已知，利用余弦定理即可解得b+c的值．

解答 （本題滿分為12分）
解：（1）∵2acosB=3ccosA-2bcosA．
∴由正弦定理可得：2sinAcosB=3sinCcosA-2sinBcosA．
∴2（sinAcosB+sinBcosA）=2sinC=3sinCcosA，
∵sinC≠0，∴cosA=$\frac{2}{3}$，解得sinA=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，
∵b=$\sqrt{5}$sinB，
∴由正弦定理可得：a=$\frac{bsinA}{sinB}$=$\frac{5}{3}$…6分
（2）∵△ABC的面積為$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，解得：bc=3，
∵a=$\sqrt{6}$，∴b²+c²-$\frac{4}{3}$bc=6，
∴（b+c）²-$\frac{10}{3}$bc=6，即（b+c）²=16，
∵b＞0，c＞0，
∴b+c=4．…12分

點評 本題主要考查了正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應用，同角三角函數(shù)基本關系式，三角形面積公式，余弦定理在解三角形中的應用，考查了計算能力和轉化思想，屬于中檔題．