Question

16．已知數列{a_n}是公差為2的等差數列．
（1）a₁，a₃，a₄成等比數列，求a₁的值；
（2）設a₁=-19，數列{a_n}的前n項和為S_n．數列{b_n}滿足${b_1}=1，{b_{n+1}}-{b_n}={（{\frac{1}{2}}）^n}$，記c_n=S_n+2^n-1•b_n（n∈N^*），求數列{c_n}的最小項c_n0（即c_n0≤c_n對任意n∈N^*成立）．

Answer 1

分析 （1）利用等差數列通項公式和等比數列性質能求出首項a₁的值．
（2）由已知利用累加法能求出b_n=2-（$\frac{1}{2}$）^n-1．從而能求出c_n-c_n-1=2n-19+2ⁿ，由此能求出數列{c_n}的最小項．

解答 解：（1）∵數列{a_n}是公差為2的等差數列．a₁，a₃，a₄成等比數列，
∴${（{a_1}+2d）^2}={a_1}（{a_1}+3d）$．
解得d=2，a₁=-8
（2）b_n=b₁+（b₂-b₁）+（b₃-b₂）+…+（b_n-b_n-1）
=1+$\frac{1}{2}+（\frac{1}{2}）^{2}+…+（\frac{1}{2}）^{n-1}$
=$\frac{1-（\frac{1}{2}）^{n}}{1-\frac{1}{2}}$
=2-（$\frac{1}{2}$）^n-1．
${S_n}=-19n+\frac{n（n-1）}{2}•2={n^2}-20n$，
${c_n}={S_n}+{2^{n-1}}•{b_n}={n^2}-20n+{2^{n-1}}•（2-{（{\frac{1}{2}}）^{n-1}}）={n^2}-20n+{2^n}-1$，
${c_{n+1}}-{c_n}={（n+1）^2}-20（n+1）+{2^{n+1}}-1-（{n^2}-20n+{2^n}-1）$
=2n-19+2ⁿ
由題意n≥9，上式大于零，即c₉＜c₁₀＜…＜c_n，
進一步，2n+2ⁿ是關于n的增函數，
∵2×4+2⁴=24＞19，2×3+2³=14＜19，
∴c₁＞c₂＞c₃＞c₄＜c₅＜…＜c₉＜c₁₀＜…＜c_n，
∴${（c）_{max}}={c_{n_0}}={c_4}=-49$．

點評 本題考查數列的首項的求法，考查數列的最小項的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意等差數列和等比數列的性質的合理運用．