Question

已知函數(shù)y=

3

sinx+cosx，x∈R．
（1）當(dāng)函數(shù)y取得最大值時(shí)，求自變量x的集合；
（2）該函數(shù)的圖象可由y=sinx （x∈R）的圖象經(jīng)過(guò)怎樣的平移和伸縮變換得到？

Answer 1

分析：（1）本小題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用三角公式進(jìn)行恒等變形的技能以及運(yùn)算能力．
（2）圖象變換過(guò)程中只有平移沒(méi)有伸縮，這樣就降低了本題的難度，同學(xué)們不會(huì)在平移的大小上出錯(cuò)．

解答：解：（1）y=

3

sinx+cosx
=2（sinxcos

π

6

+cosxsin

π

6

）
=2sin（x+

π

6

），x∈R
y取得最大值必須且只需
x+

π

6

=

π

2

+2kπ，k∈Z，
即x=

π

3

+2kπ，k∈Z．
所以，當(dāng)函數(shù)y取得最大值時(shí)，自變量x的集合為
{x|x=

π

3

+2kπ，k∈Z}．
（2）變換的步驟是：
①把函數(shù)y=sinx的圖象向左平移

π

6

，得到函數(shù)y=sin（x+

π

6

）的圖象；
②令所得到的圖象上各點(diǎn)橫坐標(biāo)不變，把縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，得到函數(shù)y=2sin（x+

π

6

）的圖象；
經(jīng)過(guò)這樣的變換就得到函數(shù)y=

3

sinx+cosx的圖象．

點(diǎn)評(píng)：三角變換過(guò)程中最后結(jié)果應(yīng)滿足下列要求：i函數(shù)種類應(yīng)盡可能少；ii次數(shù)應(yīng)盡可能低；iii項(xiàng)數(shù)盡可能少；iv盡可能不含分母；v盡可能去掉括號(hào)．若是研究三角函數(shù)的性質(zhì)，最后結(jié)果一定是y=Asin（ωx+φ）的形式．