【題目】設(shè)為坐標(biāo)原點，動點在橢圓上，過作軸的垂線，垂足為，點滿足.（Ⅰ）求點的軌跡方程；

（Ⅱ）過的直線與點的軌跡交于兩點，過作與垂直的直線與點的軌跡交于兩點，求證： 為定值.

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）.

【解析】試題分析：

(Ⅰ)設(shè)，由題意可得，則，點在橢圓上，整理計算可得軌跡方程為.

(Ⅱ)分類討論：當(dāng)與軸重合時， .當(dāng)與軸垂直時， .

當(dāng)與軸不垂直也不重合時，可設(shè)的方程為， ， ， 聯(lián)立直線與橢圓的方程有，結(jié)合弦長公式有，

把直線與曲線橢圓聯(lián)立計算可得.則.

據(jù)此，結(jié)論得證.

試題解析：

（Ⅰ）設(shè)，易知， ，

又因為，所以，

又因為在橢圓上，所以，即.

（Ⅱ）當(dāng)與軸重合時， ， ，

∴.

當(dāng)與軸垂直時， ， ，

∴.

當(dāng)與軸不垂直也不重合時，可設(shè)的方程為

此時設(shè)， ， ，

把直線與曲線聯(lián)立，

得，

可得

∴，

把直線與曲線聯(lián)立，

同理可得.

∴.

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