Question

若等差數列{a_n}中，公差d＞0，前n項和為S_n，且a₂•a₃=45，a₁+a₄=14，
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）通過b_n=

Sn

n+c

構造一個新數列{b_n}，是否存在一個非零常數c，使{b_n}也為等差數列；
（3）在（2）中，求f（n）=

bn

(n+30)•bn+1-62n

（n∈N^*）的最大值．

Answer 1

考點：等差數列的性質,數列的函數特性

專題：綜合題,等差數列與等比數列

分析：（1）等差數列{a_n}中，由公差d＞0，a₂•a₃=45，a₁+a₄=14，利用等差數列的通項公式列出方程組，求出等差數列的首項和公差，由此能求出數列{a_n}的通項公式；
（2）求出b_n=

Sn

n+c

，令c=

1

2

，可得結論；
（3）f（n）=

bn

(n+30)•bn+1-62n

，確定其單調性，即可得出結論．

解答： 解：（1）∵等差數列{a_n}中，公差d＞0，a₂•a₃=45，a₁+a₄=14，
∴（a₁+2d）（a₁+2d）=45，a₁+a₁+3d=14
∵d＞0，
∴a₁=1，d=4，
∴a_n=a₁+（n-1）d=1+4（n-1）=4n-3；
（2）Sn=

n(1+4n-3)

2

=2n(n-

1

2

)，bn=

Sn

n+c

=

2n(n- 1 2 )

n+c

，
令c=-

1

2

，即得b_n=2n，{b_n}為等差數列．
∴存在c=-

1

2

，使{b_n}也為等差數列．
（3）f(n)=

bn

(n+30)•bn+1-62n

=

n

(n+30)(n+1)-31n

=

1

n+ 30 n

，
∴f（n）在[1，5]遞增；f（n）在[6，+∞）n∈N^*遞減；
∴f（n）_min=f（5）=f（6）=

1

11

．

點評：本題考查了等差數列的通項公式與求和，考查了數列的函數特性，訓練了配方法求函數最值，是中檔題．