Question

已知函數(shù)f（x）=cosx+cos（x+）（x∈R）．
（1）求函數(shù)f（x）的最大值，并指出取得最大值時(shí)相應(yīng)的x的值；
（2）設(shè)0≤φ≤π，若y=f（x+φ）是偶函數(shù)，求φ的值．

Answer 1

解：（1）f（x）=cosx+cos（x+）=cosx-sinx=2（cosx-sinx）
=2cos（x+），
∵-1≤cos（x+）≤1，
∴-2≤2cos（x+）≤2，即-2≤f（x）≤2，
則f（x）的最大值為2，此時(shí)x+=2kπ（k∈Z），即x=2kπ-（k∈Z）；
（2）法1：由（1）及f（x+φ）=f（-x+φ），
得cos（-x++φ）=cos（x++φ），即sinxsin（φ+）=0對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，
可得φ+=kπ，k∈Z，又0≤φ≤π，
則φ=；
法2：由題設(shè)知f（x+φ）=f（-x+φ），
∴x=φ是y=f（x）的對(duì)稱軸，
由y=2cos（x+）的對(duì)稱軸為x=kπ-，k∈Z，即φ=kπ-，k∈Z，
又0≤φ≤π，
令k=1，得φ=．
分析：（1）將函數(shù)解析式第二項(xiàng)利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)后，提取2，再利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個(gè)角的余弦函數(shù)，由余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)確定出f（x）的值域，即可求出f（x）的最大值，以及此時(shí)對(duì)應(yīng)x的值；
（2）法1：由（1）化簡(jiǎn)后的函數(shù)解析式及y=f（x+φ）是偶函數(shù)，利用偶函數(shù)的性質(zhì)列出關(guān)系式，移項(xiàng)并利用和差化積公式變形后得到sinxsin（φ+）=0，可得出φ+=kπ，k∈Z，由φ的范圍即可求出φ的度數(shù)；
法2：由y=f（x+φ）是偶函數(shù)，利用偶函數(shù)的性質(zhì)得到f（x+φ）=f（-x+φ），可得出x=φ是y=f（x）的對(duì)稱軸，再由（1）化簡(jiǎn)得到的函數(shù)解析式表示出函數(shù)的對(duì)稱軸，兩者相等可得出φ=kπ-，k∈Z，由φ的范圍即可求出φ的度數(shù)．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了兩角和與差的余弦函數(shù)公式，誘導(dǎo)公式，余弦函數(shù)的定義域與值域，余弦函數(shù)的對(duì)稱性，以及偶函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．