Question

已知直線l₁：x+3y-3m²=0和直線l₂：2x+y-m²-5m=0相交于點(diǎn)P（m∈R）．
（1）用m表示直線l₁與l₂的交點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)m為何值時(shí)，點(diǎn)P到直線x+y+3=0的距離最短？并求出最短距離．

Answer 1

考點(diǎn)：點(diǎn)到直線的距離公式,中點(diǎn)坐標(biāo)公式

專題：直線與圓

分析：（1）解方程組

x+3y-3m2=0 2x+y-m2-5m=0

，能求出直線l₁與l₂的交點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（2）設(shè)點(diǎn)P到直線x+y+3=0的距離為d，d=

|3m+m2-m+3|

2

，由此利用配方法能求出點(diǎn)P到直線x+y+3=0的距離最短時(shí)的P點(diǎn)坐標(biāo)和最短距離．

解答： 解：（1）解方程組

x+3y-3m2=0 2x+y-m2-5m=0

，
得x=3m，y=m²-m，
∴直線l₁與l₂的交點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3m，m²-m）．
（2）設(shè)點(diǎn)P到直線x+y+3=0的距離為d，
d=

|3m+m2-m+3|

2

=

|m2+2m+3|

2

=

|(m+1)2+2|

2

=

(m+1)2+2

2

，
∴當(dāng)m=-1時(shí)，即P點(diǎn)坐標(biāo)為（-3，2）時(shí)，
點(diǎn)P到直線x+y+3=0的距離最短，最短距離為

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查兩直線交點(diǎn)坐標(biāo)的求法，考查點(diǎn)到直線的最短距離及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意配方法的合理運(yùn)用．