Question

已知函數(shù)f（x）=x-2m2+m+3(m∈Z)是增函數(shù)，也是偶函數(shù)
（1）求m的值，并確定f（x）的解析式；
（2）若g（x）=log_a[f（x）-ax]（a＞0且a≠1），是否存在實(shí)數(shù)a，使g（x）在區(qū)間[2，3]上的最大值為2，若存在，請(qǐng)求出a的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：冪函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：本題（1）根據(jù)指數(shù)函數(shù)為增函數(shù)，得到指數(shù)的取值范圍，再利用函數(shù)為偶函數(shù)和整數(shù)條件，得到m的值，從而求出f（x）的解析式，得到本題結(jié)論；（2）可以先將g（x）在區(qū)間[2，3]上的最大值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為內(nèi)函數(shù)h（x）=x²-ax在區(qū)間上的最值問(wèn)題，通過(guò)分類討論，研究二次函數(shù)在區(qū)間上的值域，得到本題結(jié)論．

解答： 解：（1）由條件知冪函數(shù)f(x)=x-2m2+m+3(m∈Z)在（0，+∞）上為增函數(shù)，
∴-2m²+m+3＞0，
∴-1＜m＜

3

2

，
又m∈Z，
∴m=0或1．
當(dāng)m=0時(shí)，f（x）=x³，不滿足f（x）為偶函數(shù)；
當(dāng)m=1時(shí)，f（x）=x²，滿足f（x）為偶函數(shù)；
∴f（x）=x²．
（2）g(x)=loga(x2-ax)，
令h（x）=x²-ax，
由h（x）＞0得：x∈（-∞，0）∪（a，+∞），
∵g（x）在[2，3]上有定義，
∴0＜a＜2且a≠1，
∴h（x）=x²-ax在[2，3]上為增函數(shù)．
1°當(dāng)1＜a＜2時(shí)，g_max=g（3）=log_a（9-3a）=2，
∴a2+3a-9=0⇒a=

-3±3 5

2

∵1＜a＜2，∴a=

-3+3 5

2

；
2°當(dāng)0＜a＜1時(shí)，g_max=g（2）=log_a（4-2a）=2，
∴a2+2a-4=0⇒a=-1±

5

，
∵0＜a＜1，
∴此種情況不存在，
綜上，存在實(shí)數(shù)a=

-3+3 5

2

，使g（x）在區(qū)間[2，3]上的最大值為2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、值域，還考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，本題難度不大，屬于基礎(chǔ)題．