Question

已知不等式ax²＋bx＋c＞0的解集為(α，β)，且0＜α＜β，試用α、β表示不等式cx²＋bx＋a＜0的解集．

Answer 1

答案：
解析：

解法一：由已知不等式的解集知a＜0． 　　又α、β是方程ax2＋bx＋c＝0的兩根，由韋達(dá)定理得 　　∵a＜0，∴由②得c＜0，則cx2＋bx＋a＜0，可化為x2＋x＋＞0．　　③ 　　由①②得＝＝－(＋)；由②得＝＝· 　　故③可化為x2－(＋)x＋·＞0，即(x－)(x－)＞0． 　　又∵0＜α＜β，∴0＜＜． 　　∴不等式x2＋x＋＞0的解為x＜或x＞，即不等式cx2＋bx＋a＜0的解集為{x|x＜，或x＞}． 　　解法二：由＝－(＋)，＝知、是方程x2＋x＋＝0的兩根．又∵0＜α＜β，∴0＜＜． 　　∴不等式cx2＋bx＋a＜0的解集為{x|x＜，或x＞}． 　　分析：不等式ax2＋bx＋c＞0的解集已給出，因此對(duì)應(yīng)的二次方程ax2＋bx＋c＝0的根也就給出．而所求的二次不等式對(duì)應(yīng)的二次方程的系數(shù)與已知二次不等式對(duì)應(yīng)的二次方程的系數(shù)有相同的構(gòu)成，因此可通過韋達(dá)定理來尋求它們之間的關(guān)系，本題可以由此找到突破口．