Question

在y=2^x，y=log₂x，y=x²，y=cosx這四個函數(shù)中，當0＜x₁＜x₂＜1時，使f(

x1+x2

2

)＞

f(x1)+f(x2)

2

恒成立的函數(shù)的個數(shù)是（　　）

A．0

B．1

C．2

D．3

Answer 1

分析：由題意，根據(jù)條件0＜x₁＜x₂＜1時，使f(

x1+x2

2

)＞

f(x1)+f(x2)

2

恒成立得出滿足條件的函數(shù)的性質，再對照四個函數(shù)的性質即可找出滿足條件的函數(shù)的個數(shù)

解答：解：當0＜x₁＜x₂＜1時，使f(

x1+x2

2

)＞

f(x1)+f(x2)

2

恒成立，說明函數(shù)一個遞增的越來越慢的函數(shù)或者是一個遞減的越來越快的函數(shù)或是一個先遞增得越來越慢，再遞減得越來越快的函數(shù)，從圖象上看，是圖象上任意兩點的連線所得線段在兩點之間的曲線的下方
考查四個函數(shù)y=2^x，y=log₂x，y=x²，y=cosx的圖象可得，y=log₂x在（0，1）是遞增得越來越慢型，函數(shù)y=cosx在（0，1）是遞減得越來越快型，符合任意兩點間的曲線在兩點間線段的上方，而y=2^x，y=x²，這兩個函數(shù)都是遞增得越來越快型，圖象上任意兩點間的連線在兩點連線的下方，不符合題意中f(

x1+x2

2

)＞

f(x1)+f(x2)

2

綜上分析知，滿足條件的函數(shù)有兩個
故選C

點評：本題考查函數(shù)單調性的性質，解答的關鍵是理解四個函數(shù)的性質及對題設中條件“當0＜x₁＜x₂＜1時，使f(

x1+x2

2

)＞

f(x1)+f(x2)

2

恒成立”的轉化，本題考查了轉化的思想，本題需要研究函數(shù)變化率的變化規(guī)律，有一定的難度