Question

17．已知數(shù)列{a_n}中，對任意的n∈N^*，若滿足a_n+a_n+1+a_n+2=s（s為常數(shù)），則稱該數(shù)列為3階等和數(shù)列，其中s為3階公和；若滿足a_n•a_n+1=t（t為常數(shù)），則稱該數(shù)列為2階等積數(shù)列，其中t為2階公積．已知數(shù)列{p_n}為首項為1的3階等和數(shù)列，且滿足$\frac{p_3}{p_2}=\frac{p_2}{p_1}=2$；數(shù)列{q_n}為首項為-1，公積為2的2階等積數(shù)列，設(shè)S_n為數(shù)列{p_n•q_n}的前n項和，則S₂₀₁₆=-7056．

Answer 1

分析 由題意可知，p₁=1，p₂=2，p₃=4，p₄=1，p₅=2，p₆=4，p₇=1，…，又p_n是3階等和數(shù)列，因此該數(shù)列將會照此規(guī)律循環(huán)下去．同理，q₁=-1，q₂=-2，q₃=-1，q₄=-2，q₅=-1，q₆=-2，q₇=-1，…，又q_n是2階等積數(shù)列，因此該數(shù)列將會照此規(guī)律循環(huán)下去．利用其周期性即可得出．

解答 解：由題意可知，p₁=1，p₂=2，p₃=4，p₄=1，p₅=2，p₆=4，p₇=1，…，又p_n是3階等和數(shù)列，因此該數(shù)列將會照此規(guī)律循環(huán)下去，
同理，q₁=-1，q₂=-2，q₃=-1，q₄=-2，q₅=-1，q₆=-2，q₇=-1，…，又q_n是2階等積數(shù)列，因此該數(shù)列將會照此規(guī)律循環(huán)下去．
由此可知對于數(shù)列{p_n•q_n}，每6項的和循環(huán)一次，易求出p₁•q₁+p₂•q₂+…+p₆•q₆=-21，
因此S₂₀₁₆中有336組循環(huán)結(jié)構(gòu)，故S₂₀₁₆=-21×336=-7056．
故答案為：-7056．

點評 本題考查了新定義、數(shù)列的周期性、“分組求和法”，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．