Question

已知函數(shù)f（x）=

3

sinωπ•cos（ωx+

π

4

）+2sin²ωx+

1

2

，直線y=1-

2

2

與f（x）的圖象交點之間的最短距離為π．
（1）求f（x）的解析式及其圖象的對稱中心；
（2）設(shè)△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若f（

A

2

+

π

8

）=

3

2

，c=4，a+b=4

2

，求△ABC的面積．

Answer 1

考點：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),解三角形

分析：（1）利用三角恒等變換可得f（x）=

2

2

sin（2ωx-

π

4

）+1，于是易得其對稱中心；
（2）依題意，易得A=

π

4

，再利用余弦定理，得a²=(4

2

-b)2=b²+16-4

2

b，可求得b，由S_△ABC=

1

2

bcsinA可求得答案．

解答： 解：（1）f（x）=

1

2

sin2ωx-

1

2

cos2ωx+1=

2

2

sin（2ωx-

π

4

）+1
由題可知，T=π，2ω=

2π

T

⇒ω=1，
∴f（x）=

2

2

sin（2x-

π

4

）+1
對稱中心為（

kπ

2

+

π

8

，1），k∈Z
（2）∵f（

A

2

+

π

8

）=

3

2

，

2

2

sinA=

1

2

，
∴sinA=

2

2

，又A∈（0，

π

2

），A=

π

4

∵c=4，a+b=4

2

，由余弦定理得，a²=(4

2

-b)2=b²+16-4

2

b⇒b=2

2

∴S_△ABC=

1

2

bcsinA=

1

2

×4×2

2

×

2

2

=4

點評：本題考查了三角恒等變換，著重考查正弦函數(shù)的周期性、對稱性，考查余弦定理及三角形面積公式的應(yīng)用，屬于中檔題．