Question

已知（x+

1

2

）ⁿ的展開式中前三項的系數(shù)成等差數(shù)列，設（x+

1

2

）ⁿ=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ；求：
（Ⅰ）求n的值；
（Ⅱ）求a₀-a₁+a₂+…+（-1）ⁿa_n的值．

Answer 1

考點：二項式系數(shù)的性質,二項式定理的應用

專題：二項式定理

分析：（Ⅰ）由（x+

1

2

）ⁿ的展開式中前三項的系數(shù)成等差數(shù)列，可得2

C

1 n

•

1

2

=

C

0 n

+

C

2 n

×(

1

2

)2，由此求得求得n的值．
（Ⅱ）在（x+

1

2

）⁸=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₈x⁸中，令x=-1，可得a₀-a₁+a₂+…+（-1）⁸a₈ 的值．

解答： 解：（Ⅰ）∵（x+

1

2

）ⁿ的展開式中前三項的系數(shù)成等差數(shù)列，
∴2

C

1 n

•

1

2

=

C

0 n

+

C

2 n

×(

1

2

)2，
求得 n=1（舍去），或n=8．
（Ⅱ）在（x+

1

2

）⁸=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₈x⁸中，令x=-1，可得
求a₀-a₁+a₂+…+（-1）⁸a₈=(-1+

1

2

)8=

1

28

．

點評：本題主要考查等差數(shù)列的定義和性質，二項展開式的通項公式，求展開式中某項的系數(shù)，二項式系數(shù)的性質，屬于基礎題．