Question

4．已知橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的一個焦點F（2，0），點A（2，$\sqrt{2}$）為橢圓上一點．
（I）求橢圓E的方程；
（II）設M，N為橢圓上兩點，若直線AM的斜率與直線AN的斜率互為相反數(shù)，求證：直線MN的斜率為定值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意可得c=2，將A代入橢圓方程，結(jié)合a，b，c的關系，解得a，b，進而得到橢圓方程；
（Ⅱ）設直線AM方程y=k（x-2）+$\sqrt{2}$，代入橢圓方程，利用點A（2，$\sqrt{2}$）在橢圓上，可求M的坐標，利用直線AN的斜率與AM的斜率互為相反數(shù)，將k換為-k，可求N的坐標，由兩點的斜率公式，可得直線MN的斜率，化簡整理即可得到定值．

解答 解：（Ⅰ）由題意可得c=2，即a²-b²=4，
將A代入橢圓方程，可得$\frac{4}{{a}^{2}}$+$\frac{2}{^{2}}$=1，
解得a=2$\sqrt{2}$，b=2，
即有橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1；
（Ⅱ）證明：設直線AM方程y=k（x-2）+$\sqrt{2}$，
代入橢圓方程，消y可得（1+2k²）x²+4k（$\sqrt{2}$-2k）x+2（$\sqrt{2}$-2k）²-8=0，
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
因為點A（2，$\sqrt{2}$）在橢圓上，
所以x₁=$\frac{（\sqrt{2}-2k）^{2}-4}{1+2{k}^{2}}$，y₁=kx₁+$\sqrt{2}$-2k．
又直線AN的斜率與AM的斜率互為相反數(shù)，在上式中以-k代k，
可得x₂=$\frac{（\sqrt{2}+2k）^{2}-4}{1+2{k}^{2}}$，y₂=-kx₂+$\sqrt{2}$+2k．
所以直線MN的斜率k_MN=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=$\frac{-k（{x}_{2}+{x}_{1}）+4k}{{x}_{2}-{x}_{1}}$
=$\frac{-k（-4+8{k}^{2}）+4k+8{k}^{3}}{8\sqrt{2}k}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
即直線MN的斜率為定值，其值為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題考查橢圓的方程的求法，注意運用點滿足橢圓方程，考查直線的斜率為定值的求法，注意運用直線方程和橢圓方程聯(lián)立，求交點，以及兩點的斜率公式的運用，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．