Question

已知函數(shù)f（x）=

3

sin

x

2

cos

x

2

+cos²

x

2

-

1

2

，△ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．
（1）求f（x）的對(duì)稱軸方程與對(duì)稱中心；
（2）若f（B+C）=1，a=

3

，b=1，求角C的大小．

Answer 1

分析：（1）函數(shù)解析式利用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，整理后利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，根據(jù)正弦函數(shù)的對(duì)稱軸及對(duì)稱中心即可得到結(jié)果；
（2）根據(jù)確定出的f（x）解析式，以及f（B+C）=1，求出B+C的度數(shù)，確定出A的度數(shù)，由sinA，a與b的值，利用正弦定理求出sinB的值，確定出B的度數(shù)，即可求出C的度數(shù)．

解答：解：（1）f（x）=

3

sin

x

2

cos

x

2

+cos²

x

2

-

1

2

=

3

2

sinx+

cosx+1

2

-

1

2

=

3

2

sinx+

1

2

cosx=sin（x+

π

6

），
令x+

π

6

=kπ+

π

2

，k∈Z，即f（x）的對(duì)稱軸方程為x=kπ+

π

3

；
令x+

π

6

=kπ，得到x=kπ-

π

6

，k∈Z，即f（x）的對(duì)稱中心為（kπ-

π

6

，0）；
（2）∵f（B+C）=1，∴sin（B+C+

π

6

）=1，
又B+C∈（0，π），∴B+C+

π

6

∈（

π

6

，

7π

6

），
∴B+C+

π

6

=

π

2

，即B+C=

π

3

，
∴A=

2π

3

，
∵a=

3

，b=1，sinA=

3

2

，
∴由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

得：
sinB=

bsinA

a

=

1× 3 2

3

=

1

2

，
又b＜a，∴B＜A，
∴B=C=

π

6

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，以及正弦定理，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．