在直角坐標(biāo)系中,有一點(diǎn)列P1(a1,b1),P2(a2,b2),…,Pn(an,bn),…對(duì)每一個(gè)正整數(shù)n,點(diǎn)Pn在給定的函數(shù),y=log3(2x)的圖象上,點(diǎn)Pn和點(diǎn)((n-1,0)與點(diǎn)(n,0)構(gòu)成一個(gè)以Pn為頂點(diǎn)的等腰三角形.
(I) 求點(diǎn)Pn的縱坐標(biāo)bn的表達(dá)式;
(II) 記cn=,n∈N+
①證明;
②是否存在實(shí)數(shù)k,使得對(duì)一切n∈N+均成立,若存在,求出的最大值;若不存在,說(shuō)明理由.
【答案】分析:(Ⅰ)由題意可得,然后由點(diǎn)Pn在給定的函數(shù),y=log3(2x)的圖象可求bn
(Ⅱ)①由cn==2n-1,然后利用錯(cuò)位相減求和方法可求,然后進(jìn)行證明
②由k恒成立,要求k的范圍,利用函數(shù)的單調(diào)性求解g(n)的最小值,從而k≤g(n)的最小值,即可求解k的范圍
解答:解:(Ⅰ)∵Pn(an,bn),(n-1,0)與點(diǎn)(n,0)構(gòu)成一個(gè)以Pn為頂點(diǎn)的等腰三角形
       …(2分)
又因?yàn)辄c(diǎn)Pn在給定的函數(shù),y=log3(2x)的圖象
∴bn=log3(2n-1)…(4分)
(Ⅱ)①∵cn==2n-1------------------(5分)
設(shè)Dn=
則Dn=
        ②…(6分)
由①-②得:

=1+2-
=3-<3--------(9分)
②由已知得k對(duì)一切n∈N+均成立.
=×
==>1-------(12分)
∴g(n)單調(diào)遞增.最小值為g(1)=--------(13分)
又∵k≤g(n)對(duì)一切n∈N+均成立.
∴k
…(14分)
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了數(shù)列的遞推公式的應(yīng)用,錯(cuò)位相減求和方法的應(yīng)用,及函數(shù)的單調(diào)性在求解函數(shù)的最值中的應(yīng)用,函數(shù)的恒成立與函數(shù)最值求解的相互轉(zhuǎn)化.
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(2)在(1)的條件下,證明:所有頂點(diǎn)均落在拋物線上;

(3)為使所有頂點(diǎn)均落在拋物線上,求之間所應(yīng)滿(mǎn)足的關(guān)系式.

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(1)若b =1,,,求點(diǎn)A1,A2的坐標(biāo);

(2)若在同一條直線上,求證:數(shù)列是等比數(shù)列;

(3)若是正整數(shù),依次在函數(shù)的圖象上,且前三個(gè)等腰直角三角形面積之和不大于,求數(shù)列的通項(xiàng)公式.

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