Question

已知函數(shù)f（x）=-x²+2lnx，函數(shù)f（x）與g（x）=x+

a

x

 有相同極值點(diǎn)．
（1）求函數(shù)f（x）的最大值；
（2）求實(shí)數(shù)a的值；
（3）若?x₁，x₂∈[

1

e

，3]，不等式

f(x1)-g(x2)

k-1

≤1恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，從而可得函數(shù)f（x）的最大值；
（2）求導(dǎo)函數(shù)，利用函數(shù)f（x）與g（x）=x+

a

x

有相同極值點(diǎn)，可得x=1是函數(shù)g（x）的極值點(diǎn)，從而可求a的值；
（3）先求出x₁∈[

1

e

，3]時(shí)，f（x₁）_min=f（3）=-9+2ln3，f（x₁）_max=f（1）=-1；x₂∈[

1

e

，3]時(shí)，g（x₂）_min=g（1）=2，g（x₂）_max=g（3）=

10

3

，再將對于“x₁，x₂∈[

1

e

，3]，不等式

f(x1)-g(x2)

k-1

≤1恒成立，等價(jià)變形，分類討論，即可求得實(shí)數(shù)k的取值范圍．

解答： 解　（1）f′（x）=-2x+

2

x

=-2×

(x-1)(x+1)

x

 （x＞0），
由f′（x）＞0得0＜x＜1；由f′（x）＜0得x＞1．
∴f（x）在（0，1）上為增函數(shù)，在（1，+∞）上為減函數(shù)．
∴函數(shù)f（x）的最大值為f（1）=-1．
（2）∵g（x）=x+

a

x

，∴g′（x）=1-

a

x2

．
由（1）知，x=1是函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)．又∵函數(shù)f（x）與g（x）=x+

a

x

有相同極值點(diǎn)，
∴x=1是函數(shù)g（x）的極值點(diǎn)．∴g′（1）=1-a=0，解得a=1．
經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)a=1時(shí)，函數(shù)g（x）取到極小值，符合題意
（3）∵f（

1

e

）=-

1

e2

-2，f（1）=-1，f（3）=-9+2ln3，
∵-9+2ln3＜-

1

e2

-2＜-1，即f（3）＜f（

1

e

）＜f（1），
∴?x₁∈（

1

e

，3），f（x₁）_min=f（3）=-9+2ln3，f（x₁）_max=f（1）=-1．
由①知g（x）=x+

1

x

，∴g′（x）=1-

1

x2

．
故g（x）在[

1

e

，1）時(shí)，g′（x）＜0；當(dāng)x∈（1，3]時(shí)，g′（x）＞0．故g（x）在[

1

e

，e）上為減函數(shù)，在（1，3]上為增函數(shù)．
∵g（

1

e

）=e+

1

e

，g（1）=2，g（3）=3+

1

3

=

10

3

，而2＜e+

1

e

＜

10

3

，∴g（1）＜g（

1

e

）＜g（3）．
∴?x₂∈[

1

e

，e]，g（x₂）_min=g（1）=2，g（x₂）_max=g（3）=

10

3

．
?當(dāng)k-1＞0，即k＞1時(shí)，對于?x₁，x₂∈[

1

e

，e]，不等式

f(x1)-g(x2)

k-1

≤1恒成立
?k-1≥[f（x₁）-g（x₂）]_max?k≥[f（x₁）-g（x₂）]_max+1．
∵f（x₁）-g（x₂）≤f（1）-g（1）=-1-2=-3，∴k≥-3+1=-2，又∵k＞1，∴k＞1．
?當(dāng)k-1＜0，即k＜1時(shí)，對于?x₁，x₂∈[

1

e

，e]，不等式

f(x1)-g(x2)

k-1

≤1恒成立
?k-1≤[f（x₁）-g（x₂）]_min?k≤[f（x₁）-g（x₂）]_min+1．
∵f（x₁）-g（x₂）≥f（3）-g（3）=-9+2ln3-

10

3

=-

37

3

+2ln3，
∴k≤-

34

3

+2ln3．又∵k＜1，∴k≤-

34

3

+2ln3．
綜上，所求的實(shí)數(shù)k的取值范圍為（-∞，-

34

3

+2ln3））∪（1，+∞）．

點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的最值，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．