Question

設函數f（x）=（x-1）²+blnx，其中b為常數．
（1）當b＞

1

2

時，判斷函數f（x）在定義域上的單調性；
（2）b≤0時，求f（x）的極值點；
（3）求證：對任意不小于3的正整數n，不等式ln（n+1）-lnn＞

1

n2

都成立．

Answer 1

分析：（1）先由負數沒有對數得到f（x）的定義域，求出f（x）的導函數，根據b大于

1

2

得到導函數大于0，所以函數在定義域內單調遞增；
（2）令f（x）的導函數等于0，求出此時方程的解即可得到x的值，根據d小于等于0舍去不在定義域范圍中的解，得到符合定義域的解，然后利用這個解把（0，+∞）分成兩段，討論導函數的正負得到函數f（x）的增減性，根據f（x）的增減性即可得到函數的唯一極小值為這個解；
（3）令b=-1＜0，代入f（x）的解析式中確定出f（x），并根據（2）把b的值代入求出的唯一極小值中求出值為

1+ 3

2

，得到函數的遞減區(qū)間為（0，

1+ 3

2

），根據0＜1＜1+

1

n

≤

4

3

＜

1+ 3

2

，利用函數為減函數即可得到函數值f(1)＞f(1+

1

n

)，化簡得證．

解答：解：（1）由題意知，f（x）的定義域為（0，+∞），f′(x)=2x-2+

b

x

=

2x2-2x+b

x

=

2(x- 1 2 )2+b- 1 2

x

(x＞0)．
∴當b＞

1

2

時，f'（x）＞0，函數f（x）在定義域（0，+∞）上單調遞增；
（2）令f′(x)=2x-2+

b

x

=

2x2-2x+b

x

=0，
得x1=

1

2

-

1-2b

2

，x2=

1

2

+

1-2b

2

．
當b≤0時，x1=

1

2

-

1-2b

2

≤0∉（0，+∞）（舍去），
而x2=

1

2

+

1-2b

2

≥1∈（0，+∞），
此時：f'（x），f（x）隨x在定義域上的變化情況如下表：
由此表可知：∵b≤0時，f（x）有惟一極小值點，x2=

1

2

+

1-2b

2

；
（3）由（2）可知當b=-1時，函數f（x）=（x-1）²-lnx，此時f（x）有惟一極小值點：x=

1

2

+

1-2b

2

=

1+ 3

2

，
且x∈(0，

1+ 3

2

)時，f'（x）＜0，f（x）在(0，

1+ 3

2

)為減函數．
∵當n≥3時，0＜1＜1+

1

n

≤

4

3

＜

1+ 3

2

，
∴恒有f(1)＞f(1+

1

n

)，即恒有0＞

1

n2

-ln(1+

1

n

)=

1

n2

-[ln(n+1)-lnn]．
∴當n≥3時，恒有ln(n+1)-lnn＞

1

n2

成立．

點評：此題考查學生會利用導函數的正負判斷函數的單調性，并根據函數的單調性得到函數的極值，掌握導數在最值問題中的應用，是一道綜合題．學生做題時應注意找出函數的定義域．第三問的突破點是令b=-1，然后利用增減性進行證明．