Question

已知函數(shù)（m，n為常數(shù)），且關(guān)于x的方程f（x）=x-12有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x₁=3，x₂=4．
（1）求m，n的值；
（2）設(shè)t＞1，試解關(guān)于x的不等式：（2-x）f（x）＜（t+1）x-t．

Answer 1

解：（1）由題意得：，
化簡得：（m-1）x²+（n-12m）x-12n=0，
又關(guān)于x的方程f（x）=x-12有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x₁=3，x₂=4，
∴，
∴m=-1，n=2．
（2）此時(shí)，，
∴關(guān)于x的不等式：（2-x）f（x）＜（t+1）x-t．
即（2-x）＜（t+1）x-t，
化簡得：x²-（t+1）x+t＜0（x≠2），
即（x-t）（x-1）＜0（x≠2），
①當(dāng)1＜t≤2時(shí)，不等式的解集為：{x|1＜x＜t}；
②當(dāng)t＞2時(shí)，不等式的解集為：{x|1＜x＜t且x≠2}．
分析：（1）欲求m，n的值，由題意得得：（m-1）x²+（n-12m）x-12n=0，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，可以求得兩根之積和兩根之和，即可得到一個(gè)關(guān)于m，n的方程，解方程即可求m，n的值．
（2）由（1）得，從而關(guān)于x的不等式：（2-x）f（x）＜（t+1）x-t．化簡得即（x-t）（x-1）＜0（x≠2），再對(duì)t進(jìn)行分類討論，即可得出不等式的解集．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系、不等式的解法，將根與系數(shù)的關(guān)系與代數(shù)式變形相結(jié)合解題是經(jīng)常使用的一種解題方法．