Question

某分公司經(jīng)銷某種品牌產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的成本為4元，并且每件產(chǎn)品需向總公司交a元（3≤a≤6）的管理費(fèi)，預(yù)計(jì)當(dāng)每件產(chǎn)品的售價(jià)為x元（11≤x≤14）時(shí)，一年的銷售量為（16-x）²萬件．
（1）求分公司一年的利潤L（萬元）與每件產(chǎn)品的售價(jià)x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）求分公司一年的利潤的最大值Q（a）．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用

專題：應(yīng)用題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求出每件產(chǎn)品的利潤，乘以價(jià)格得到利潤L（萬元）與每件產(chǎn)品的售價(jià)x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）求出利潤函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由a得范圍得到導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)的范圍，分類討論原函數(shù)在[11，14]上的單調(diào)性，并求出a在不同范圍內(nèi)的利潤函數(shù)的最值．

解答： 解：（1）每件產(chǎn)品的利潤為：x-4-a元，
分公司一年的利潤L（萬元）與售價(jià)x的函數(shù)關(guān)系式為：L=（x-4-a）（16-x）²，x∈[11，14]；
（2）L′（x）=（16-x）²-2（x-4-a）（16-x）
=（16-x）（-3x+24+2a）．
令L′（x）=0，得x=8+

2

3

a或x=16（不合題意，舍去）．
∵3≤a≤6，∴10≤8+

2

3

a≤12．
在x=8+

2

3

a左右兩側(cè)，L′（x）的值由正變負(fù)．
∴當(dāng)10≤8+

2

3

a≤11，最大值Q（a）=L（11）=25（7-a）；
當(dāng)11≤8+

2

3

a≤12，最大值Q（a）=L（8+

2

3

a）=36（6-a）=4(4-

a

3

)3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用等知識(shí)，考查運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析和解決實(shí)際問題的能力，是中檔題．