【題目】對(duì)于任意,若數(shù)列滿足,則稱這個(gè)數(shù)列為“K數(shù)列”.

1)已知數(shù)列:1,是“K數(shù)列”,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;

2)是否存在首項(xiàng)為-1的無(wú)窮等差數(shù)列為“K數(shù)列”,且其前n項(xiàng)和滿足:,若存在,求出的通項(xiàng)公式;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;

3)已知各項(xiàng)均為正整數(shù)的等比數(shù)列(至少有4項(xiàng))為“K數(shù)列”,數(shù)列不是“K數(shù)列”,若,是否存在,使為“K數(shù)列”?若存在,請(qǐng)求出,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1)(2)這樣的等差數(shù)列不存在,詳見解析(3)答案不唯一,具體見解析

【解析】

(1)直接根據(jù)“K數(shù)列”的定義列出關(guān)于的不等式求解即可.

(2) 假設(shè)存在等差數(shù)列符合要求,設(shè)公差為d,再求得,再利用分析公差滿足的條件是否能夠成立即可.

(3) 設(shè)數(shù)列的公比為q,,再根據(jù)等比數(shù)列為“K數(shù)列”,數(shù)列不是“K數(shù)列”求出前兩項(xiàng)的關(guān)系,再根據(jù)前兩項(xiàng)的關(guān)系分情況討論是否能夠滿足為“K數(shù)列”即可.

(1)由題意得,①,②

解①得;解②得.

所以,故實(shí)數(shù)m的取值范圍是.

(2)假設(shè)存在等差數(shù)列符合要求,設(shè)公差為d,則,

,得,

由題意,得對(duì)均成立,

.

①當(dāng)時(shí),;

②當(dāng)時(shí),,

因?yàn)?/span>,

所以,與矛盾,

故這樣的等差數(shù)列不存在.

(3)設(shè)數(shù)列的公比為q,則,

因?yàn)?/span>的每一項(xiàng)均為正整數(shù),且,

所以,且.

因?yàn)?/span>,

所以在中,“”為最小項(xiàng),

同理,在中,為最小項(xiàng).

為“K數(shù)列”,只需,即,

又因?yàn)?/span>不是“K數(shù)列”,且“”為最小項(xiàng),所以,即,

由數(shù)列的每一項(xiàng)均為正整數(shù),可得,

所以,,,

①當(dāng),時(shí),,則,

,則,

,

所以為遞增數(shù)列,即,

所以,

因?yàn)?/span>,

所以對(duì)任意的,都有,

即數(shù)列為“K數(shù)列”.

②當(dāng),時(shí),,則.因?yàn)?/span>,

所以數(shù)列不是“K數(shù)列”.

綜上:當(dāng)時(shí),數(shù)列為“K數(shù)列”,

當(dāng)時(shí),數(shù)列不是“K數(shù)列”.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為點(diǎn).為橢圓上的一動(dòng)點(diǎn),面積的最大值為.過點(diǎn)的直線被橢圓截得的線段為,當(dāng)軸時(shí),

(1)求橢圓的方程;

(2)橢圓上任取兩點(diǎn)A,B,以,為鄰邊作平行四邊形.若,則是否為定值?若是,求出定值;如不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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(2)求二面角的余弦值.

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【題目】(本題滿分14分)本題共有2個(gè)小題,第1小題滿分6分,第2小題滿分8.

有時(shí)可用函數(shù)

描述學(xué)習(xí)某學(xué)科知識(shí)的掌握程度,其中x表示某學(xué)科知識(shí)的學(xué)習(xí)次數(shù)(),表示對(duì)該學(xué)科知識(shí)的掌握程度,正實(shí)數(shù)a與學(xué)科知識(shí)有關(guān).

1) 證明:當(dāng)時(shí),掌握程度的增加量總是下降;

2) 根據(jù)經(jīng)驗(yàn),學(xué)科甲、乙、丙對(duì)應(yīng)的a的取值區(qū)間分別為,,

.當(dāng)學(xué)習(xí)某學(xué)科知識(shí)6次時(shí),掌握程度是85%,請(qǐng)確定相應(yīng)的學(xué)科.

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1)當(dāng)時(shí),證明:,;

2)若函數(shù)上存在兩個(gè)極值點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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方案甲:?jiǎn)T工最多有兩次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì),每次抽獎(jiǎng)的中獎(jiǎng)率為.第一次抽獎(jiǎng),若未中獎(jiǎng),則抽獎(jiǎng)結(jié)束.若中獎(jiǎng),則通過拋一枚質(zhì)地均勻的硬幣,決定是否繼續(xù)進(jìn)行第二次抽獎(jiǎng),規(guī)定:若拋出硬幣,反面朝上,員工則獲得500元獎(jiǎng)金,不進(jìn)行第二次抽獎(jiǎng);若正面朝上,員工則須進(jìn)行第二次抽獎(jiǎng),且在第二次抽獎(jiǎng)中,若中獎(jiǎng),獲得獎(jiǎng)金1000元;若未中獎(jiǎng),則所獲獎(jiǎng)金為0元.

方案乙:?jiǎn)T工連續(xù)三次抽獎(jiǎng),每次中獎(jiǎng)率均為,每次中獎(jiǎng)均可獲獎(jiǎng)金400元.

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