Question

若S_n=cos

π

8

+cos

2π

8

+…+cos

nπ

8

（n∈N^*），則在S₁，S₂，…，S₂₀₁₄中，正數(shù)的個數(shù)是（　　）

• A、882
• B、756
• C、750
• D、378

Answer 1

考點(diǎn)：運(yùn)用誘導(dǎo)公式化簡求值

專題：三角函數(shù)的求值

分析：利用余弦函數(shù)的象限符號求得S₁，S₂，…，S₂₀₁₄前16項中的正數(shù)項的個數(shù)，由周期性得到前2000項中的正數(shù)項個數(shù)，最后求得后14項中的正數(shù)項個數(shù)，則答案可求．

解答： 解：∵cos

π

8

＞0，cos

2π

8

＞0，cos

3π

8

＞0，cos

4π

8

=0，
cos

5π

8

=-cos

3π

8

＜0，cos

6π

8

=-cos

2π

8

＜0，cos

7π

8

=-cos

π

8

＜0，
cos

8π

8

=-1，cos

9π

8

＜0，cos

10π

8

＜0，cos

11π

8

＜0，cos

12π

8

=0，
cos

13π

8

=-cos

11π

8

＞0，cos

14π

8

=-cos

10π

8

＞0，cos

15π

8

=-cos

9π

8

＞0，
cos

16π

8

=1．
∴S₁＞0，S₂＞0，S₃＞0，S₄＞0，S₅＞0，S₆＞0．
S₇=0，S₈＜0，S₉＜0，…S₁₅＜0，S₁₆=0．
∴S₁，S₂，…，S₁₆中是正數(shù)的有6項．
由余弦函數(shù)的周期性可知，S₁，S₂，…，S₂₀₀₀中的正數(shù)項由750項．
S₂₀₀₁，S₂₀₀₂，…，S₂₀₁₄中有6項為正數(shù)項．
∴在S₁，S₂，…，S₂₀₁₄中，正數(shù)的個數(shù)是756．
故選：B．

點(diǎn)評：本題考查了數(shù)列的和，考查了余弦函數(shù)的誘導(dǎo)公式，解答的關(guān)鍵是對周期規(guī)律的發(fā)現(xiàn)，是中檔題．