Question

18．已知函數(shù)f（x）=e^x-2x．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的極值；
（Ⅱ）證明：當(dāng)x＞0時(shí)，x²＜e^x．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值即可；
（Ⅱ）令g（x）=e^x-x²，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)的定義域?yàn)镽，f′（x）=e^x-2，
令f′（x）=0，得x=ln2，
當(dāng)x＜ln2時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)x＞ln2時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；
所以當(dāng)x=ln2時(shí)，f（x）有極小值，
且極小值為f（ln2）=e^ln2-2ln2=2-ln4，f（x）無(wú)極大值…（6分）
（Ⅱ）證：令g（x）=e^x-x²，則g′（x）=e^x-2x
由（Ⅰ）得，g'（x）=f（x）≥f（ln2）=2-ln4＞0，即g'（x）＞0
所以g（x）在R上單調(diào)遞增，又g（0）=1＞0，
所以當(dāng)x＞0時(shí)，g（x）＞g（0）＞0，即x²＜e^x…12分

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值問題，考查導(dǎo)的應(yīng)用以及不等式的證明，是一道中檔題．