Question

如圖，四邊形ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AD=2．
（1）求PC與平面PBD所成的角；
（2）在線段PB上是否存在一點E，使得PC⊥平面ADE？并說明理由．

Answer 1

解：連接AC，設AC∩BD=O，連接PO
∵PD⊥平面ABCD，CO?平面ABCD∴PD⊥CO
由ABCD為正方形，知CO⊥BD
∵PD∩BD=D∴CO⊥平面PBD
∴∠CPO是直線PC與平面PBD所成的角
在Rt△POC中，=
∴
∴直線PC與平面PBD所成的角為
（2）建立如圖所示的空間直角坐標系D_xyz，設線段PB上存在一點E，使得PC⊥平面ADE
則存在實數(shù)λ，使得（0≤λ≤1）
∵P（0，0，2），B（2，2，0）∴
∴==（2λ，2λ，2-2λ）
由題意顯然有AD⊥平面PCD∴PC⊥AD 要使PC⊥平面ADE，只需
即∴0×2λ+2×2λ-2（2-2λ）=0
∴
故在線段上存在一點E（E為線段的中點）使得PC⊥平面ADE
分析：要求PC與平面PBD所成的角，直線找出已知平面PBD的垂線，設AC∩BD=O，由PD⊥平面ABCD，可得PD⊥CO，容易證明CO⊥BD
CO⊥平面PBD，∠CPO是直線PC與平面PBD所成的角在Rt△POC中，由可求
（2）由于存在性問題的特點，考慮利用空間向量法，先建立如圖所示的空間直角坐標系D_xyz，設線段PB上存在一點E，使得PC⊥平面ADE、，則由向量的共線定理可得，存在實數(shù)λ，使得（0≤λ≤1），則．然后由AD⊥平面PCD，可得PC⊥AD，要使PC⊥平面ADE，只需，即，從而可求λ，進而判斷是否存在
點評：本題主要考查了直線與平面所成的角的求解，這是立體幾何中最基本的試題類型，而在立體幾何圖形中，存在性問題的求解一般采用向量法求解比較容易．