Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD是等邊三角形，AD∥BC，∠ABC=90°，M是PD的中點，且AD=2AB=2BC=2．
（1）證明：CM∥平面PAB．
（2）求二面角C-PB-A的余弦值．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，建立空間直角坐標系，求出平面APB的法向量，利用向量法能證明CM∥平面PAB．
（2）求出平面PBC的法向量和平面APB的法向量，由此利用向量法能求出二面角C-PB-A的余弦值．

解答： （1）證明：以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，
建立空間直角坐標系，
由題意得C（1，1，0），P（0，1，

3

），D（0，2，0），
M（0，

3

2

，

3

2

），A（0，0，0），B（1，0，0），

CM

=（-1，

1

2

，

3

2

），

AB

=（1，0，0），

AP

=（0，1，

3

），
設平面APB的法向量

n

=（x，y，z），
則

n • AB =x=0 n • AP =y+ 3 z=0

，取y=

3

，得

n

=（0，

3

，-1），
∵

n

•

CM

=0+

3

2

-

3

2

=0，且CM?平面PAB，
∴CM∥平面PAB．
（2）解：

BP

=（-1，1，

3

），

BC

=（0，1，0），
設平面PBC的法向量

m

=（a，b，c），
則

m • BP =-a+b+ 3 c=0 m • BC =b=0

，取a=

3

，得

m

=（

3

，0，1），
又平面APB的法向量

n

=（0，

3

，-1），
設二面角C-PB-A的平面角為θ，
則cosθ=|cos＜

n

，

m

＞|=

| n • m |

| n |•| m |

=

1

2×2

=

1

4

，
∴二面角C-PB-A的余弦值為

1

4

．

點評：本題主要考查直線與平面之間的平行、垂直等位置關系，線面平行、二面角的概念、求法等知識，以及空間想象能力和邏輯推理能力．