Question

如圖已知點(diǎn)A（1，-1）和單位圓上半部分上的動(dòng)點(diǎn)B，則|

OA

+

OB

|的最大值為（　�。�

• A．

  5

• B．

  2

  -1
• C．

  2

• D．1

Answer 1

分析：由題意利用單位圓的性質(zhì)，設(shè)B（cosα，sinα）（0≤α≤π），從而得到

OA

+

OB

=（1+cosα，-1+sinα）．再根據(jù)向量模的公式、三角恒等變換和正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)加以計(jì)算，可得當(dāng)α=0時(shí)|

OA

+

OB

|2的最大值為5，由此可得|

OA

+

OB

|的最大值．

解答：解：∵動(dòng)點(diǎn)B在單位圓的上半部分，
∴設(shè)B（cosα，sinα），得

OB

=（cosα，sinα），其中0≤α≤π
∵

OA

=（1，-1），∴

OA

+

OB

=（1+cosα，-1+sinα），
可得|

OA

+

OB

|2=（1+cosα）²+（-1+sinα）²
=（1+2cosα+cos²α）+（1-2sinα+sin²α）=3+2（cosα-sinα），
∵cosα-sinα=

2

sin（

π

4

-α），

π

4

-α∈[-

3π

4

，

π

4

]，
∴當(dāng)

π

4

-α=

π

4

即α=0時(shí)，cosα-sinα有最大值為1．
由此可得|

OA

+

OB

|2=3+2（cosα-sinα）的最大值為3+2=5．
∴|

OA

+

OB

|的最大值為

5

故選：A

點(diǎn)評：本題給出單位圓上的動(dòng)點(diǎn)B與定點(diǎn)A，求|

OA

+

OB

|的最大值．著重考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算、向量模的公式和三角函數(shù)的最值求法等知識，屬于中檔題．