Question

19．在三棱錐S-ABC中，∠ACB=90°，SA⊥平面ABC，SA=2，AC=BC=1，則異面直線SB與AC所成角的余弦值是（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{6}}{3}$
• B． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• D． $\frac{\sqrt{6}}{6}$

Answer 1

分析 如圖所示，把△ABC補成正方形EACB，則有AE∥BC，AC∥BE．即∠SBE就是異面直線SB與AC所成的角．解直角三角形SBE即可得到結(jié)果．

解答 解：如圖所示，把△ABC補成正方形EACB，則有AE∥BC，AC∥BE．
∴∠SBE就是異面直線SB與AC所成的角．
∵∠ACB=90°，SA⊥平面ABC，可得BC⊥面SAC，AE⊥面SAC，
∵SA=2，AC=BC=1，∴$SE=\sqrt{{2}^{2}+{1}^{1}}=\sqrt{5}$
∵AC⊥AE，AC⊥SA，SA∩AE=A，∴AC⊥面SAE，
∴BE⊥面SAE，即BE⊥SE．
在Rt△SEB中，cos$∠SBE=\frac{BE}{SB}=\frac{\sqrt{6}}{6}$．
故選：D

點評 本題考查了空間異面直線的夾角的計算，屬于中檔題．