Question

16．函數(shù)f（x）=ax²+bx+c，已知方程f（x）=x無實數(shù)解．
求證：f（f（x））=x也沒有實數(shù)解．

Answer 1

分析 利用二次函數(shù)的性質(zhì)和一元二次方程無實數(shù)根與判別式的關(guān)系即可得出

解答 證明：當(dāng)a=0時，f（x）=bx+c，若方程f（x）=x無實數(shù)解，則b=1且c≠0，此時f（x）=x+c
此時f（f（x））=（x+c）+c=x+2c=-x，
則0x=-2c，此時無實數(shù)解，
當(dāng)a≠0
∵f（x）=ax²+bx+c（a≠0）
方程f（x）=x 即f（x）-x=ax²+（b-1）x+c=0無實根，f（x）-x仍是二次函數(shù)，f（x）-x=0仍是二次方程，且無實根，
∴△＜0．
若a＞0，則函數(shù)y=f（x）-x的圖象在x軸上方，
∴y＞0，即f（x）-x＞0恒成立，
即：f（x）＞x對任意實數(shù)x恒成立． 
∴對f（x），有f（f（x））＞f（x）＞x恒成立，
∴f（f（x））=x無實根

點評 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)和一元二次方程無實數(shù)根與判別式的關(guān)系，屬于難題．