Question

函數(shù)f（x）對(duì)任意的x，y∈R都有f（2x+y）=2f（x）+f（y），且當(dāng)x＞0，f（x）＜0．
（1）求證：f（3x）=3f（x），f（2x）=2f（x）；
（2）判斷f（x）在（-∞，+∞）上的單調(diào)性并證明；
（3）若f（6）=-1，解不等式f(log2

x-2

x

)+6f(log2

3	x

)＜-

1

6

．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,其他不等式的解法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用賦值法，分別令y=x，x=y=0，y=0，即可證明，
（2）先令t=2x，先得出f（t+y）=f（t）+f（y），再利用函數(shù)的單調(diào)性性的定義即可證明，
（3）先，求得f（1）=

1

6

，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到不等式，解得即可．

解答： 解：（1）令y=x，則f（2x+x）=2f（x）+f（x）=3f（x），
令x=y=0，得f（0）=0，
令y=0，則f（2x）=2f（x），
故f（3x）=3f（x），f（2x）=2f（x）；
（2）由f（0）=0，函數(shù)f（x）為減函數(shù)，
令t=2x，則f（2x+y）=f（t+y），2f（x）+f（y）=f（2x）+f（y）=f（t）+f（y），
∴f（t+y）=f（t）+f（y）
設(shè)x₁，x₂∈R且x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0，
∵當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＜0，
∴f（x₂-x₁）＜0，
∵f（x₂）=f（x₂-x₁+x₁）=f（x₂-x₁）+f（x₁）＜f（x₁），
∴f（x₁）＞f（x₂），
∴函數(shù)f（x）為R上的單調(diào)減函數(shù)，
（3）∵-1=f(6)=3f(2)⇒f(2)=-

1

3

，-

1

3

=f(2)=2f(1)⇒f(1)=-

1

6

．
f(log2

x-2

x

)+6f(log2

3	x

)=f(log2

x-2

x

)+2f(3log2

3	x

)=f(log2

x-2

x

)+2f(log2x)=f(2log2x+log2

x-2

x

)=f(log2x2+log2

x-2

x

)=f(log2[x(x-2)])，
∴f（log₂[x（x-2）]＜f（1）
因?yàn)閒（x）在（-∞，+∞）上是減函數(shù)，
所以

x-2 x ＞0 3 x ＞0 log2[x(x-2)]＞1

解不等式組得x＞1+

3

．
所以不等式的解集為(1+

3

，+∞)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用，著重考查函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，屬于中檔題．．