已知函數(shù)f(x)=
1
4x+2

(1)證明:函數(shù)f(x)關(guān)于點(diǎn)(
1
2
,
1
4
)
對稱.
(2)求f(0)+f(
1
8
)+f(
2
8
)+…+f(
7
8
)+f(1)
的值.
分析:(1)設(shè)曲線上任意一點(diǎn)A((x1,y1),求出它關(guān)于(
1
2
,
1
4
)
的對稱點(diǎn),將橫坐標(biāo)代入函數(shù)f(x),看對稱點(diǎn)是否適合函數(shù)即可.
(2)利用(1)的對稱性,它f(0)+f(
1
8
)+f(
2
8
)+…+f(
7
8
)+f(1)
中自變量,關(guān)于
1
2
對稱,所以函數(shù)值容易求得.
解答:解:(1)設(shè)曲線上任意一點(diǎn)A((x1,y1)關(guān)于(
1
2
,
1
4
)
的對稱點(diǎn)A′(1-x1,
1
2
-y1)
,
f(1-x1)=
1
41-x1+2
=
4x1
4+2•4x1
=
4x1+2-2
2(4x1+2)
=
1
2
-
1
4x1+2
=1-y1

所以圖象過A′(1-x1,
1
2
-y1)

所以f(x)關(guān)于點(diǎn)(
1
2
,
1
4
)
對稱.
(2)由(1)的對稱性,所以f(
4
8
) =
1
4
,  f(
3
8
)+f (
5
8
)=f(
2
8
)+f(
6
8
)=f(
1
8
) +f(
7
8
) =f( 0)+f(1) =
1
2

f(0)+f(
1
8
)+f(
2
8
)+…+f(
7
8
)+f(1)
=
9
4
點(diǎn)評:本題考查奇偶函數(shù)圖象的對稱性,函數(shù)的值,考查學(xué)生分析問題解決問題的能力,是中檔題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(1)、已知函數(shù)f(x)=
1+
2
cos(2x-
π
4
)
sin(x+
π
2
)
.若角α在第一象限且cosα=
3
5
,求f(α)

(2)函數(shù)f(x)=2cos2x-2
3
sinxcosx
的圖象按向量
m
=(
π
6
,-1)
平移后,得到一個(gè)函數(shù)g(x)的圖象,求g(x)的解析式.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=(1-
a
x
)ex
,若同時(shí)滿足條件:
①?x0∈(0,+∞),x0為f(x)的一個(gè)極大值點(diǎn);
②?x∈(8,+∞),f(x)>0.
則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
1+lnx
x

(1)如果a>0,函數(shù)在區(qū)間(a,a+
1
2
)
上存在極值,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)當(dāng)x≥1時(shí),不等式f(x)≥
k
x+1
恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
1+
1
x
,(x>1)
x2+1,(-1≤x≤1)
2x+3,(x<-1)

(1)求f(
1
2
-1
)
與f(f(1))的值;
(2)若f(a)=
3
2
,求a的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

定義在D上的函數(shù)f(x)如果滿足:對任意x∈D,存在常數(shù)M>0,都有|f(x)|≤M成立,則稱f(x)是D上的有界函數(shù),其中M稱為函數(shù)f(x)的上界.已知函數(shù)f(x)=
1-m•2x1+m•2x

(1)m=1時(shí),求函數(shù)f(x)在(-∞,0)上的值域,并判斷f(x)在(-∞,0)上是否為有界函數(shù),請說明理由;
(2)若函數(shù)f(x)在[0,1]上是以3為上界的有界函數(shù),求m的取值范圍.

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