Question

【題目】已知函數.

（Ⅰ）若曲線在處的切線與直線垂直，求直線的方程；

（Ⅱ）當時，且，證明：.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）見證明

【解析】

（Ⅰ）根據導數的幾何意義求出參數，再根據點斜式方程得到直線的方程．（Ⅱ）由題意得函數在上單調遞減，在上單調遞增，且當時，．不妨設，此時．故要證，只需證，只需證，然后構造函數，可證得時，單調遞減，進而可得結論成立．

（Ⅰ）解：∵，

∴，

∴，

∵切線與直線垂直，

∴，故．

∴，

∴直線方程為，即．

（Ⅱ）證明：

由（Ⅰ）知，

∴當時，；當時， ．

∴函數在上單調遞減，在上單調遞增．

又，

∴當時，．

根據題意不妨設，此時，

故要證，

只需證，

只需證．

因為，故 只需證．

設，

則，

∴當時，單調遞減，

∴時，，

即，

∴當時，，

∴，

∴，

又函數在上單調遞增，

∴，

∴．