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【題目】一根水平放置的長方體形枕木的安全負荷與它的寬度成正比，與它的厚度的平方成正比，與它的長度的平方成反比.

(Ⅰ)將此枕木翻轉90°（即寬度變?yōu)楹穸龋�，枕木的安全負荷會如何變化？為什么？（設翻轉前后枕木的安全負荷分別為且翻轉前后的比例系數相同都為）

(Ⅱ)現有一根橫斷面為半圓（已知半圓的半徑為）的木材，用它來截取成長方體形的枕木，其長度為10，問截取枕木的厚度為多少時，可使安全負荷最大？

【答案】(Ⅰ) 見解析 (Ⅱ)

【解析】試題分析：（1）安全負荷為正常數），翻轉后，從而得，從而討論變化；（2）如圖，設截取的寬為，厚度為，則，即，從而得到，再求導，確定函數的單調性與最值.

試題解析：（Ⅰ）安全負荷為正常數）翻轉，

，

當時，安全負荷變大.

當 ，安全負荷變��；

當時，安全負荷不變.

（II）如圖，設截取的寬為，厚度為，則.

= （

令 得：

當時 函數在上為增函數；

當時 函數在上為減函數；

當 時，安全負荷最大。此時厚度

答：當問截取枕木的厚度為時，可使安全負荷最大。

練習冊系列答案
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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知、分別是橢圓 的左、右焦點，點是橢圓上一點，且.

（1）求橢圓的方程；

（2）設直線與橢圓相交于，兩點，若，其中為坐標原點，判斷到直線的距離是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由.

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【題目】如圖是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為（ ）

A. 12 B. 15 C. 18 D. 21

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【題目】平面直角坐標系中，橢圓： 的離心率為，過橢圓右焦點作兩條互相垂直的弦，當其中一條弦所在直線斜率為0時，兩弦長之和為6.

（1）求橢圓的方程；

（2）是拋物線： 上兩點，且處的切線相互垂直，直線與橢圓相交于兩點，求弦的最大值.

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【題目】為了了解青少年的肥胖是否與常喝碳酸飲料有關，現對30名青少年進行調查，得到如下列聯表：

常喝

不常喝

總計

肥胖

2

不肥胖

18

總計

30

已知從這30名青少年中隨機抽取1名，抽到肥胖青少年的概率為．

（1）請將列聯表補充完整；（2）是否有99.5%的把握認為青少年的肥胖與常喝碳酸飲料有關？

獨立性檢驗臨界值表：

P（K2≥k0）

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

k0

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

參考公式：，其中n=a+b+c+d．

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【題目】設函數

（1） 判斷并證明f(x)在定義域內的單調性；

（2）證明：當x＞－1時， ；

（3）設當x≥0時， ，求a的取值范圍．

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【題目】已知函數（為常數， 是自然對數的底數），曲線在點處的切線方程是.

（1）求的值；（2）求的單調區(qū)間；

（3）設（其中為的導函數）。證明：對任意，

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【題目】（本小題滿分12分） 設函數

（1）當時，求函數的單調區(qū)間；

（2）令＜≤，其圖像上任意一點P處切線的斜率≤恒成立，求實數的取值范圍；

（3）當時，方程在區(qū)間內有唯一實數解，求實數的取值范圍。

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【題目】如圖所示，已知三棱柱中， ， ， ．

（1）求證： ；

（2）若， ，求二面角的余弦值．

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