Question

18．橢圓mx²+y²=1（m＞1）的短軸長為$\frac{\sqrt{2}}{2}$m，則m=2．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，將橢圓mx²+y²=1的方程變形為標準方程可得$\frac{{x}^{2}}{\frac{1}{m}}$+$\frac{{y}^{2}}{1}$=1，比較$\frac{1}{m}$與1的大小可得該橢圓的焦點在y軸上，且b=$\sqrt{\frac{1}{m}}$，進而依據(jù)題意可得$\frac{\sqrt{2}}{2}$m=2$\sqrt{\frac{1}{m}}$，解可得m的值，即可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，橢圓mx²+y²=1的方程可以變形為$\frac{{x}^{2}}{\frac{1}{m}}$+$\frac{{y}^{2}}{1}$=1，
又由m＞1，則$\frac{1}{m}$＜1，
故該橢圓的焦點在y軸上，則b=$\sqrt{\frac{1}{m}}$，
又由該橢圓的短軸長為$\frac{\sqrt{2}}{2}$m，則有$\frac{\sqrt{2}}{2}$m=2$\sqrt{\frac{1}{m}}$，
解可得m=2；
故答案為：2．

點評 本題考查橢圓的性質(zhì)，注意要先將橢圓的方程化為標準方程，進而確定橢圓的焦點的位置以及b的值．