如圖,已知BC是半徑為1的半圓O的直徑,A是半圓周上不同于B,C的點,F(xiàn)為的中點.梯形ACDE中,DE∥AC,且AC=2DE,平面ACDE⊥平面ABC.求證:
(1)平面ABE⊥平面ACDE;
(2)平面OFD∥平面BAE.

【答案】分析:(1)在半圓中,AB⊥AC,而平面ACDE⊥平面ABC,且交線為AC,故由兩平面垂直的性質(zhì)定理可知:AB⊥平面ACDE,由兩平面垂直的判定定義可知:平面ABE⊥平面ACDE;
(2)設(shè)OF∩AC=M,連接DM,OA,由F為的中點,得M為AC的中點,所以DE∥AC,得四邊形AMDE為平行四邊形,從而DM∥AE,DM∥平面ABE;由OM∥AB得,OM∥平面ABE;由兩個平面平行的判定定理,可知平面OFD∥平面BAE.
解答:證明:(1)∵BC是半圓O的直徑,A是半圓周上不同于B,C的點AC
∴∠BAC=90°,∴AC⊥AB
∵平面ACDE⊥平面ABC,平面ACDE∩平面ABC=AC,AB?平面ABC
∴由兩個平面垂直的性質(zhì)得,AB⊥平面ACDE
∵AB?平面ABE
∴平面ABE⊥平面ACDE.
(2)如圖,設(shè)OF∩AC=M,連接DM,OA
∵F為的中點
∴M為AC的中點.
∵AC=2DE,DE∥AC
∴DE∥AM,DE=AM
∴四邊形AMDE為平行四邊形.
∴DM∥AE
∵DM?平面ABE,AE?平面ABE
∴DM∥平面ABE
∵O為BC中點
∴OM為三角形ABC的中位線
∴OM∥AB
∵OM?平面ABE,AB?平面ABE
∴OM∥平面ABE
∵OM?平面OFD,DM?平面OFD,OM∩DM=M
∴由兩個平面平行的判定定理可知,平面OFD∥平面ABE.
點評:本題主要考查了兩個平面垂直的性質(zhì)定理及判定定理、兩個平面平行的判定定理,體現(xiàn)了線線、線面、面面之間關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化.
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(2012•藍(lán)山縣模擬)如圖,已知BC是半徑為1的半圓O的直徑,A是半圓周上不同于B,C的點,F(xiàn)為
AC
的中點.梯形ACDE中,DE∥AC,且AC=2DE,平面ACDE⊥平面ABC.求證:
(1)平面ABE⊥平面ACDE;
(2)平面OFD∥平面BAE.

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(1)平面ABE⊥平面ACDE;
(2)平面OFD∥平面BAE.

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