Question

8．已知函數(shù)$f（x）=（2-a）lnx+\frac{1}{x}，g（x）=2ax$，
（1）當a=0時，求f（x）的極值；
（2）若F（x）=f（x）+g（x）對任意的a∈（-3，-2），x₁，x₂∈[1，3]，恒有（m+ln3）a-2ln3＞|F（x₁）-F（x₂）|成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當a=0時，求出函數(shù)的導數(shù)，求出極值點，判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可推出結(jié)果．
（2）求出函數(shù)的導數(shù)，當-3＜a＜-2時，F(xiàn)（x）在$（\frac{1}{2}，+∞）$上是減函數(shù)，即F（x）在[1，3]上是減函數(shù)，利用x₁，x₂∈[1，3]，恒有（m+ln3）a-2ln3＞|F（x₁）-F（x₂）|成立，推出（m+ln3）a-2ln3＞|F（x₁）-F（x₂）|_max，轉(zhuǎn)化為$m＜-4+\frac{2}{3a}$對任意-3＜a＜-2恒成立，然后求解即可．

解答 解：（1）當a=0時，$f（x）=2lnx+\frac{1}{x}，f'（x）=\frac{2}{x}-\frac{1}{x^2}=\frac{2x-1}{x^2}\;（x＞0）$，
由$f'（x）=\frac{2x-1}{x^2}＞0$，解得$x＞\frac{1}{2}$．
∴f（x）在$（0，\frac{1}{2}）$上是減函數(shù)，在$（\frac{1}{2}，+∞）$上是增函數(shù)．
∴f（x）的極小值為$f（\frac{1}{2}）=2-2ln2$，無極大值…（5分）
（2）$F（x）=（2-a）lnx+\frac{1}{x}+2ax$，
則$F'（x）=\frac{2-a}{x}-\frac{1}{x^2}+2a=\frac{{2a{x^2}+（2-a）x-1}}{x^2}=\frac{（ax+1）（2x-1）}{x^2}\;（x＞0）$．
當-3＜a＜-2時，F(xiàn)（x）在$（\frac{1}{2}，+∞）$上是減函數(shù)，即F（x）在[1，3]上是減函數(shù)，
∴$|{F（{x_1}）-F（{x_2}）}|≤F（1）-F（3）=\frac{2}{3}-4a+（a-2）ln3$，
由（m+ln3）a-2ln3＞|F（x₁）-F（x₂）|對任意的a∈（-3，-2），x₁，x₂∈[1，3]恒成立，
∴（m+ln3）a-2ln3＞|F（x₁）-F（x₂）|_max，
即$（m+ln3）a-2ln3＞\frac{2}{3}-4a+（a-2）ln3$對任意-3＜a＜-2恒成立，
即$m＜-4+\frac{2}{3a}$對任意-3＜a＜-2恒成立，
由于當-3＜a＜-2時，$-\frac{13}{3}＜-4+\frac{2}{3a}＜-\frac{38}{9}$，
∴$m≤-\frac{13}{3}$…（12分）

點評 本題考查函數(shù)的導數(shù)、函數(shù)的極值以及函數(shù)的恒成立的條件的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．